15347: Difference between revisions

Latest revision as of 08:01, 3 January 2025

E:15347 (Meda Bojor, Baia Mare)

Determinați numerele prime $p,q,r,s$ pentru care este adevărată relația $p\cdot q\cdot r\cdot s=26(p+q+r+s)$ .

Soluție.

Deoarece $26\mid p\cdot q\cdot r\cdot s$ și $p,q,r,s$ sunt numere prime, deducem că unul dintre numere este $2$ , iar altul este $13$ .

Fie $p=2$ și $q=13$ . Atunci relația devine $r\cdot s=r+s+15$ sau $r\cdot s-r-s+1=16$ , pe care o putem scrie: $(r-1)(s-1)=16$ .

Cum $r$ și $s$ sunt numere prime, găsim $r=s=5$ . Dacă alegeam $p=2$ și $r=13$ , găseam $q=s=5$ , și așa mai departe; toate combinațiile posibile.

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''15347 (Meda Bojor, Baia Mare)'''
+'''E:15347 (Meda Bojor, Baia Mare)'''
-<br />
-<br />
-''Determinați numerele prime p, q, r, s pentru care este adevărată relația p · q · r · s = 26(p + q + r + s).''
-<br />
-<br />
-'''Soluție:'''
-<br />
-Deoarece 26 | p · q · r · s și p, q, r, s sunt numere prime, deducem că unul dintre numere este 2, iar altul este 13. Fie p = 2 și q = 13. Atunci relația devine:
-r · s = r + s + 15,
-sau
-r · s - r - s = 16,
-pe care o putem scrie:
-(r - 1)(s - 1) = 16.
-Cum r și s sunt numere prime, găseam r = s = 5. Dacă alegem p = 2 și r = 13, găseam q = s = 5, și așa mai departe; toate combinațiile posibile.
+''Determinați numerele prime <math>p, q, r, s</math> pentru care este adevărată relația <math>p \cdot q \cdot r \cdot s = 26(p + q + r + s)</math>.''
-<br />
-<br />
+'''Soluție.'''
+Deoarece <math>26 \mid p \cdot q \cdot r \cdot s</math> și <math>p, q, r, s</math> sunt numere prime, deducem că unul dintre numere este <math>2</math>, iar altul este <math>13</math>.
+Fie <math>p = 2</math> și <math>q = 13</math>. Atunci relația devine <math>r \cdot s = r + s + 15</math> sau <math>r \cdot s - r - s + 1 = 16</math>, pe care o putem scrie: <math>(r - 1)(s - 1) = 16</math>.
+Cum <math>r</math> și <math>s</math> sunt numere prime, găsim <math>r = s = 5</math>. Dacă alegeam <math>p = 2</math> și <math>r = 13</math>, găseam <math>q = s = 5</math>, și așa mai departe; toate combinațiile posibile.