E:5756

E:5756 (Dumitru Acu)

Fie $ABCD$ un romb. Prin vârful $A$ ducem o dreaptă arbitrară care intersectează pe $BC$ în $E$, pe $DC$ în $F$, iar pe diagonala $BD$ în $G$. Să se arate că dreapta $CG$ este tangentă în $C$ cercului circumscris triunghiului $ECF$.

Soluție

Din faptul că semidreapta $(DB$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle ADC$ și semidreapta $(GB$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle AGC$ se deduce că

$$\left[AG\right]\equiv \left[CG\right].$$

În triunghiul $FGC$, aplicăm Teorema bisectoarei, pentru bisectoarea $(GD$ a unghiului $\sphericalangle FGC$ și obținem

$${\frac {CD}{DF}}={\frac {GC}{GF}}$$

Cum patulaterul $ABCD$ este un romb, avem $AB\parallel BC$, deci Teorema lui Thales implică

$${\frac {CD}{DF}}={\frac {EA}{AF}}$$

Atunci avem

$${\frac {EA}{AF}}={\frac {GA}{GF}}\Rightarrow {\frac {EA}{GA}}={\frac {AF}{GF}}$$

Prin intermediul proporțiilor derivate se obține

$${\frac {GA-AE}{GA}}={\frac {GF-FA}{GF}}\Rightarrow {\frac {GE}{GA}}={\frac {GA}{GF}},$$

ceea ce revine la

$$GA^{2}=GE\cdot GF\Leftrightarrow GC^{2}=GE\cdot GF.$$

Din puterea punctului $G$ față de cercul determinat de punctele necoliniare $E$, $C$, $F$ rezultă că dreapta $GC$ este tangentă la cercul circumscris triunghiului $ECF$.