S:E22.136: Difference between revisions

Latest revision as of 13:22, 5 December 2024

S:E22.136 (Cristina Vijdeluc, Mihai Vijdeluc)

Aflați numerele $n$ , $p$ natuarale neule pentru care $2n^{2}=253\cdot \left(p!+2022\right)$ , unde $p!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot p$ .

Soluție

Notăm cu $u\left(N\right)$ ulitima cifră a numărului natural $N$ .

Pentru $p\geq 5$ , avem $u\left(253\cdot \left(p!+2022\right)\right)=6$ și $u\left(2n^{2}\right)\in \left\{0,2,8\right\}$ . Deci, pentru $p\geq 5$ , avem $2n^{2}\neq 253\cdot \left(p!+2022\right)$ oricare ar fi $n\in \mathbb {N} ^{\ast }$ .

Deoarece $2n^{2}$ este număr par, $p=1$ nu convine, deci $p\in \left\{2,3,4\right\}$ .

Cum numerele $2$ și $253$ sunt relativ prime între ele, egalitatea $2n^{2}=253\cdot \left(p!+2022\right)$ are loc doar dacă $253|n$ , deci există $k\in \mathbb {N} ^{\ast }$ astfel încât $n=253\cdot k$ . Egalitatea devine $2\cdot k^{2}=p!+2022$ , cu $p\in \left\{2,3,4\right\}$ .

Se obține $n=506$ și $p=2$ .

@@ Line 7: / Line 7: @@
 Notăm cu <math>u\left( N \right)</math> ulitima cifră a numărului natural <math>N</math>.
-Pentru <math> p \ge 5 </math>, avem <math>u\left( 253 \cdot \left(p! + 2022\right) \right) = 625</math> și <math> u\left( 2n^2 \right) \in \left\{ 0,2,8 \right\}</math>. Deci, pentru <math> p \ge 5 </math>, avem  <math>2n^2 \ne 253 \cdot \left(p! + 2022\right)</math> oricare ar fi <math>n \in \mathbb{N}^\ast </math>.
+Pentru <math> p \ge 5 </math>, avem <math>u\left( 253 \cdot \left(p! + 2022\right) \right) = 6</math> și <math> u\left( 2n^2 \right) \in \left\{ 0,2,8 \right\}</math>. Deci, pentru <math> p \ge 5 </math>, avem  <math>2n^2 \ne 253 \cdot \left(p! + 2022\right)</math> oricare ar fi <math>n \in \mathbb{N}^\ast </math>.
+Deoarece <math>2n^2</math> este număr par, <math>p=1</math> nu convine, deci <math>p \in \left\{ 2,3,4 \right\}</math>.
+Cum numerele <math>2</math> și <math>253</math> sunt relativ prime între ele, egalitatea ''<math>2n^2 = 253 \cdot \left(p! + 2022\right)</math>'' are loc doar dacă <math>253 | n</math>, deci există <math>k \in \mathbb{N}^\ast </math> astfel încât <math>n=253 \cdot k </math>. Egalitatea devine <math>2\cdot k^2 = p! + 2022</math>, cu <math>p \in \left\{ 2,3,4\right\}</math>.
+Se obține <math>n=506</math> și <math>p = 2</math>.