E:15992

E:15992 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare )

Aflați numerele naturale $x$ și ${\overline {abcd}}$ pentru care este adevărată relația

$$5[({\overline {ab}}+{\overline {cd}})({\overline {ad}}+{\overline {cb}})-1]=2022-3^{x}.$$

Soluție:

Analizând ultima cifră a celor doi membri, putem avea egalitate doar dacă aceasta este 5. Acest lucru se obține pentru $x=3$ . După înlocuire, relația devine $({\overline {ab}}+{\overline {cd}})({\overline {ad}}+{\overline {cb}})=400$. Deoarece fiecare termen al produsului este cel puțin 20, egalitatea poate există doar daca ${\overline {ab}}+{\overline {cd}}={\overline {ad}}+{\overline {cb}}=20$, de unde ${\overline {ab}}={\overline {cd}}=10$, iar ${\overline {abcd}}=1010$.