14683: Difference between revisions

Latest revision as of 14:50, 16 January 2024

14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Enunț:

Se consideră triunghiul ABC în care $m(\angle A)=2\cdot m(\angle B)+30^{\circ }$ . Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.

Dacă $m(\angle MAC)=2\cdot m(\angle MAB)$ , arătați că BM = MC.

Soluție:

Notăm $a=m(\angle ABC)$ și $x=m(\angle BAM)$ . Avem $m(\angle BAC)=2a+30^{\circ }$ și $m(\angle CAM)=2x$ , din ipoteză. Atunci $3x=2a+30^{\circ }$ de unde $x={\frac {2a}{3}}+10^{\circ }$ . Pe de altă parte avem $m=(\angle AMC)=a+x={\frac {5a}{3}}+10^{\circ }$ ca unghi exterior $\triangle AMB$ . Cum AM = AC vom avea $m(\angle ACM)={\frac {5a}{3}}+10^{\circ }$ . Acum în $\triangle ABC$ avem $a+2a+30^{\circ }+{\frac {5a}{3}}+10^{\circ }=180^{\circ }$ , de unde $a=30^{\circ }$ , apoi $x=30^{\circ }$ și $m(\angle AMC)=60^{\circ }$ . Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, iar $\triangle AMC$ (1) este echilateral AM = AC = CM,(2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC.

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''14683 (Răzvan Ceuca)'''
+'''14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
-''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile:
+'''Enunț:'''
-<ol style="list-style-type:lower-roman">
-  <li><i><math>AB = BA;</math></i></li>
-  <li><i>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă.<br>Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</i></li>
-</ol>
-'''Soluție:'''
+Se consideră triunghiul ABC în care <math>m(\angle A) = 2 \cdot m(\angle B) + 30^\circ</math>. Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.
-Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y</math>. Presupunem că <math>x \neq y</math>; atunci x &lt; y sau x &gt; y.
+Dacă <math>m(\angle MAC) = 2 \cdot m(\angle MAB)</math>, arătați că BM = MC.
-Dacă x &gt; y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) = 3^y(3^{x-y} - 1)</math>.
-Avem <math>2^y < 3^y</math> și <math>2^{x-y} - 1 < 3^{x-y} -1 </math>, de unde <math>2^y(2^{x-y}-1) < 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals.
+'''Soluție:'''
-Analog se procedează dacă x &lt; y. În concluzie x = y.
+Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x</math>, din ipoteză. Atunci <math>3x = 2a + 30^\circ</math> de unde <math>x = \frac{2a}{3} + 10^\circ</math>. Pe de altă parte avem <math>m = (\angle AMC) = a + x = \frac{5a}{3}+ 10^\circ</math> ca unghi exterior <math>\triangle AMB</math>. Cum AM = AC vom avea <math>m(\angle ACM) = \frac {5a}{3} + 10^\circ</math>. Acum în <math>\triangle ABC</math> avem <math>a + 2a + 30^\circ + \frac{5a}{3} + 10^\circ = 180^\circ</math>, de unde <math>a = 30^\circ</math>, apoi <math>x = 30^\circ</math> și <math>m(\angle AMC) = 60^\circ</math>. Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, iar <math>\triangle AMC</math>(1) este echilateral AM = AC = CM,(2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC.