28251

28251 (Gheorghe Boroica)

Fie $(n\geq 2)$ un număr natural și $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$ o funcție continuă astfel încât $f(0)\geq 0$ și $\int _{0}^{1}e^{2f(x)}dx=1+{\frac {2}{n^{3}}}$.
a) Dați un exemplu de o funcție $f$ cu proprietățile din enunț.
b) Arătați că există $c\in [0,1]$ astfel încât $f(c)=c^{n^{3}-1}$.

Soluție. a) Funcția

$$f:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\quad f(x)=\ln {\sqrt {1+{\frac {4x}{n^{3}}}}}$$

are toate proprietățile din enunț.

b) Deoarece $e^{t}\geq t+1$ pentru orice $t\in \mathbb {R}$, avem

$$1+{\frac {2}{n^{3}}}=\int _{0}^{1}e^{2f(x)}dx\geq \int _{0}^{1}\left(2f(x)+1\right)dx=2\int _{0}^{1}f(x)dx+1,$$

de unde rezultă că

$$\int _{0}^{1}f(x)dx\leq {\frac {1}{n^{3}}}.$$

Cum $\int _{0}^{1}x^{n^{3}-1}dx={\dfrac {1}{n^{3}}}$, deducem că $\int _{0}^{1}\left(f(x)-x^{n^{3}-1}\right)dx\leq 0$, deci există $a\in [0,1]$, astfel încât $f(a)-a^{n^{3}-1}\leq 0$. Funcția Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - x^{n^{3}}} este continuă și Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g(0) \cdot g(a) \leq 0} .
Rezultă că există Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c \in [0,a] \subseteq [0,1]} astfel încât Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g(c) = 0 } , ceea ce revine la faptul că există Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c \in [0,a] \subseteq [0,1]} astfel încât Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(c) = c^{n^{3}-1} } .