28251: Difference between revisions

Latest revision as of 19:04, 7 January 2024

28251 (Gheorghe Boroica)

Fie $(n\geq 2)$ un număr natural și $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$ o funcție continuă astfel încât $f(0)\geq 0$ și $\int _{0}^{1}e^{2f(x)}dx=1+{\frac {2}{n^{3}}}$ .
a) Dați un exemplu de o funcție $f$ cu proprietățile din enunț.
b) Arătați că există $c\in [0,1]$ astfel încât $f(c)=c^{n^{3}-1}$ .

Soluție. a) Funcția

f:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\quad f(x)=\ln {\sqrt {1+{\frac {4x}{n^{3}}}}}

are toate proprietățile din enunț.

b) Deoarece $e^{t}\geq t+1$ pentru orice $t\in \mathbb {R}$ , avem

1+{\frac {2}{n^{3}}}=\int _{0}^{1}e^{2f(x)}dx\geq \int _{0}^{1}\left(2f(x)+1\right)dx=2\int _{0}^{1}f(x)dx+1,

de unde rezultă că

\int _{0}^{1}f(x)dx\leq {\frac {1}{n^{3}}}.

Cum $\int _{0}^{1}x^{n^{3}-1}dx={\dfrac {1}{n^{3}}}$ , deducem că $\int _{0}^{1}\left(f(x)-x^{n^{3}-1}\right)dx\leq 0$ , deci există $a\in [0,1]$ , astfel încât $f(a)-a^{n^{3}-1}\leq 0$ . Funcția $g:[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,g(x)=f(x)-x^{n^{3}}$ este continuă și $g(0)\cdot g(a)\leq 0$ .
Rezultă că există $c\in [0,a]\subseteq [0,1]$ astfel încât $g(c)=0$ , ceea ce revine la faptul că există $c\in [0,a]\subseteq [0,1]$ astfel încât $f(c)=c^{n^{3}-1}$ .

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''28251  (Trif Flaviu) '''
+'''28251  (Gheorghe Boroica) '''
 <br />
 <br />
-''Fie'' <math>(n \geq 2)</math> ''un număr natural și'' <math> f:  [0,1] \longrightarrow  \mathbb{R} </math> ''o funcție continuă astfel încât'' <math>f(0) \geq 0</math> si <math>\int_{0}^{1} e^2f(x) dx = 1+\frac{2}{n^3}</math>.
+''Fie'' <math>(n \geq 2)</math> ''un număr natural și'' <math> f:  [0,1] \longrightarrow  \mathbb{R} </math> ''o funcție continuă astfel încât'' <math>f(0) \geq 0</math> și <math>\int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx = 1+\frac{2}{n^3}</math>.
 <br />
-a) ''Dați un exemplu de o funcție f cu proprietățile din enunț''.
+a) ''Dați un exemplu de o funcție <math>f</math> cu proprietățile din enunț''.
 <br />
-b) ''Arătați că există'' <math> c \in [0,1] </math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}} - 1
+b) ''Arătați că există'' <math> c \in [0,1] </math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}-1}
 </math>.
-'''Soluție.''' a) Funcția <math> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = \ln\sqrt{1 + \frac{4x}{n^3}}</math> are toate proprietățile din enunț.
+'''Soluție.''' a) Funcția<math display="block"> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = \ln\sqrt{1 + \frac{4x}{n^3}}</math>are toate proprietățile din enunț.
-<br />
-b) Deoarece <math> e^t \geq t + 1</math> pentru orice <math> t \in \mathbb{R}</math>, avem
+b) Deoarece <math> e^t \geq t + 1</math> pentru orice <math> t \in \mathbb{R}</math>, avem<math display="block"> 1 + \frac{2}{n^3} = \int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx \ge \int_{0}^{1} \left(2f(x) + 1\right) dx = 2\int_{0}^{1} f(x)dx + 1,</math>de unde rezultă că<math display="block"> \int_{0}^{1} f(x)dx\leq \frac{1}{n^3}.</math>
-<math> 1 + \frac{2}{n^3} = \int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx \geq \int_{0}^{1} (2f(x) + 1) dx = 2\int_{0}^{1} f(x)dx + 1</math>,
+Cum <math> \int_{0}^{1} x^{n^3-1}dx = \dfrac{1}{n^3}</math>, deducem că <math> \int_{0}^{1} \left(f(x) - x^{n^3-1} \right) dx \leq 0 </math>, deci există <math> a \in [0,1] </math>, astfel încât <math> f(a) - a^{n^{3}-1} \leq 0 </math>.
-<br />
+Funcția <math> g : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - x^{n^{3}}</math> este continuă și <math> g(0) \cdot g(a) \leq 0</math>.<br />Rezultă că există <math> c \in [0,a] \subseteq [0,1]</math> astfel încât <math> g(c) = 0 </math>, ceea ce revine la faptul că există <math> c \in [0,a] \subseteq [0,1]</math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}-1}
-de unde rezultă că <math> \int_{0}^{1} f(x)dx\leq \frac{1}{n^3}</math>. Cum <math> \int_{0}^{1} x^{n^3-1}dx</math>, deducem că <math> \int_{0}^{1} (f(x) - x^{n^3-1}_dx \leq 0 </math>, deci există <math> a \in [0,1] </math>, astfel încât <math> f(a) - a^{n^{3}}-1 \leq 0 </math>.
+</math>.
-<br />
-Functia <math> g : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - x^{n^{3}}</math> este continuă și <math> g(0) * g(a) \leq 0</math>.
-<br />
-Rezultă că exsită <math> c \in [0,a] \subseteq [0,1]</math> astfel încât <math> g(c) = 0 </math>.