28251: Diferență între versiuni
(Pagină nouă: '''28251 (Trif Flaviu) ''' <br /> <br /> ''Fie'' <math>(n \geq 2)</math> ''un număr natural și'' <math> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R} </math> ''o funcție continuă astfel încât'' <math>f(0) \geq 0</math> si <math>\int_{0}^{1} e^2f(x) dx = 1+\frac{2}{n^3}</math>. <br /> a) ''Dați un exemplu de o funcție f cu proprietățile din enunț''. <br /> b) ''Arătați că există'' <math> c \in [0,1] </math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}} - 1 </math>. '''Solu...) |
Fără descriere a modificării |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''28251 ( | '''28251 (Gheorghe Boroica) ''' | ||
<br /> | <br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
''Fie'' <math>(n \geq 2)</math> ''un număr natural și'' <math> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R} </math> ''o funcție continuă astfel încât'' <math>f(0) \geq 0</math> | ''Fie'' <math>(n \geq 2)</math> ''un număr natural și'' <math> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R} </math> ''o funcție continuă astfel încât'' <math>f(0) \geq 0</math> și <math>\int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx = 1+\frac{2}{n^3}</math>. | ||
<br /> | <br /> | ||
a) ''Dați un exemplu de o funcție f cu proprietățile din enunț''. | a) ''Dați un exemplu de o funcție <math>f</math> cu proprietățile din enunț''. | ||
<br /> | <br /> | ||
b) ''Arătați că există'' <math> c \in [0,1] </math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}} - 1 | b) ''Arătați că există'' <math> c \in [0,1] </math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}} - 1 |
Versiunea de la data 7 ianuarie 2024 18:50
28251 (Gheorghe Boroica)
Fie un număr natural și o funcție continuă astfel încât și .
a) Dați un exemplu de o funcție cu proprietățile din enunț.
b) Arătați că există astfel încât .
Soluție. a) Funcția are toate proprietățile din enunț.
b) Deoarece pentru orice , avem
,
de unde rezultă că . Cum , deducem că Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x) - x^{n^3-1}_dx \leq 0 }
, deci există Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a \in [0,1] }
, astfel încât Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(a) - a^{n^{3}}-1 \leq 0 }
.
Functia Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - x^{n^{3}}}
este continuă și Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g(0) * g(a) \leq 0}
.
Rezultă că exsită Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c \in [0,a] \subseteq [0,1]}
astfel încât Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g(c) = 0 }
.