S:E15.239: Difference between revisions
Pagină nouă: '''S:E15.239 (Andrei Horvat-Marc)''' ''Într-un triunghi dreptunghic se notează cu'' <math>b</math> ''și $c$ lungimile catetelor, cu $x$ și $y$ lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză, iar cu $h$ lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.'' a) ''Pentru'' b) Arătați că există o infinitate de triunghiuri dreptunghice pentru care toate valorile $b$, $c$, $x$, $y$ și $h$ sunt numere naturale. '''Soluție.''' |
No edit summary |
||
| (2 intermediate revisions by the same user not shown) | |||
| Line 1: | Line 1: | ||
'''S:E15.239 (Andrei Horvat-Marc)''' | '''S:E15.239 (Andrei Horvat-Marc)''' | ||
''Într-un triunghi dreptunghic se notează cu | ''Într-un triunghi dreptunghic se notează cu <math>b</math> și <math>c</math> lungimile catetelor, cu'' <math>a</math> ''lungimea ipotenuzei, cu <math>x</math> și <math>y</math> lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză, iar cu <math>h</math> lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.'' | ||
a) ''Pentru'' | a) ''Pentru <math>b=20</math> cm și <math>c=15</math> cm, calculați <math>a</math>, <math>x</math>, <math>y</math> și <math>h</math>.'' | ||
b) Arătați că există o infinitate de triunghiuri dreptunghice pentru care toate valorile | b) ''Arătați că există o infinitate de triunghiuri dreptunghice pentru care toate valorile <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>x</math>, <math>y</math> și <math>h</math> sunt numere naturale.'' | ||
'''Soluție.''' | '''Soluție.''' | ||
a) În triunghiul dreptunghic cu catetele <math>b=20</math> și <math>c=15</math> avem ipotenuza <math>a = 25</math>, lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză sunt <math>x=16</math>, respectiv <math>y=9</math>, iar lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este <math>h=12</math>, deci în acest triunghi toate valorile <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>x</math>, <math>y</math> și <math>h</math> sunt numere naturale. | |||
b) Pentru orice <math>k\in \mathbb{N}</math>, triunghiul dreptunghic cu catetele <math>b=20k</math> și <math>c=15k</math>, are lungimea ipotenuzei <math>a = 25k</math>, lungimile proiecțiilor pe ipotenuză date de <math>x=16k</math>, respectiv <math>y=9k</math>, iar lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este <math>h=12k</math>, deci în acest triunghi toate valorile <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>x</math>, <math>y</math> și <math>h</math> sunt numere naturale. În concluzie, există o infinitate de astfel de triunghiuri. | |||
Latest revision as of 11:56, 7 January 2024
S:E15.239 (Andrei Horvat-Marc)
Într-un triunghi dreptunghic se notează cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} lungimile catetelor, cu lungimea ipotenuzei, cu și lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză, iar cu lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.
a) Pentru cm și cm, calculați , , și .
b) Arătați că există o infinitate de triunghiuri dreptunghice pentru care toate valorile , , , , și sunt numere naturale.
Soluție. a) În triunghiul dreptunghic cu catetele și avem ipotenuza , lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză sunt , respectiv , iar lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este , deci în acest triunghi toate valorile , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} sunt numere naturale.
b) Pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k\in \mathbb{N}} , triunghiul dreptunghic cu catetele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=20k} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c=15k} , are lungimea ipotenuzei Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = 25k} , lungimile proiecțiilor pe ipotenuză date de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=16k} , respectiv Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=9k} , iar lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h=12k} , deci în acest triunghi toate valorile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} sunt numere naturale. În concluzie, există o infinitate de astfel de triunghiuri.