14383: Difference between revisions

Latest revision as of 13:20, 30 December 2023

E:14383 (Gheorghe Gherasim)

Numerele naturale distincte $a$ , $b$ verifică $9\cdot [\,a,b]\,=a\cdot b\cdot (\,a\cdot b)\,$ .

i) Arătați că $a$ și $b$ nu sunt prime între ele.

ii) Arătați că diferența numerelor este cel puțin $3$ .

Se consideră că $[a,b]$ reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor $a$ și $b$ , iar $(a,b)$ este cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$ .

Soluție.

i) Se știe că $a\cdot b=[\,a,b]\,\cdot (\,a,b)\,$ și relația devine $9\cdot [\,a,b]\,=[\,a,b]\,\cdot {\{(\,a,b)\,\}}^{2}$ . De aici obținem ${\{(a,b)\}}^{2}=9$ , de unde $(a,b)=3$ , ceea ce arată că $a$ și $b$ nu sunt prime între ele.

ii) Din $(a,b)=3$ rezultă $a=3x$ și $b=3y$ cu $(x,y)\,=1$ . Deoarece $a<b$ avem $x<y$ . Cum $x$ și $y$ sunt numere naturale avem $y-x\geq 1$ .

Atunci $b-a=3(\,y-x)\,\geq 3\cdot 1=3$ , de unde $b\geq a+3$ .

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''14383 (Gheorghe Gherasim)'''
+'''E:14383 (Gheorghe Gherasim)'''
-''Numerele naturale distincte a, b verifică <math>9 \cdot [\,a, b]\,=a \cdot b \cdot (\,a \cdot b)\,</math>.''
+''Numerele naturale distincte'' <math>a</math>'','' <math>b</math> ''verifică <math>9 \cdot [\,a, b]\,=a \cdot b \cdot (\,a \cdot b)\,</math>.''
-i) ''Arătați că a și b nu sunt prime între ele.''
+i) ''Arătați că'' <math>a</math> ''și'' <math>b</math> ''nu sunt prime între ele.''
-ii) ''Arătați că diferența numerelor este cel puțin 3.''
+ii) ''Arătați că diferența numerelor este cel puțin'' <math>3</math>''.''
-''([a, b] reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b, iar (a, b) este cel mai mare divizor comun al numerelor a și b).''
+''Se consideră că'' <math>[a,b]</math> ''reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor <math>a</math> și <math>b</math>, iar'' <math>(a,b)</math> ''este cel mai mare divizor comun al numerelor  <math>a</math> și <math>b</math>.''
 '''Soluție.'''
-i) Se știe că <math>a \cdot b= [\,a, b]\, \cdot (\,a, b)\,</math> și relația devine <math>9 \cdot [\,a, b]\,=[\,a, b]\, \cdot {\{(\,a, b)\,\}}^2</math>. De aici obținem <math>{\{(\,a, b)\,\}}^2=9</math>, de unde <math>(\,a, b)\,=3</math>, ceea ce arată că a și b nu sunt prime între ele.
+i) Se știe că <math>a \cdot b= [\,a, b]\, \cdot (\,a, b)\,</math> și relația devine <math>9 \cdot [\,a, b]\,=[\,a, b]\, \cdot {\{(\,a, b)\,\}}^2</math>. De aici obținem <math>{\{(a, b)\}}^2=9</math>, de unde <math>(a, b)=3</math>, ceea ce arată că <math>a</math> ''și'' <math>b</math> nu sunt prime între ele.
-ii) Din <math>(\,a, b)\,=3</math> rezultă <math>a=3x</math> și <math>b=3y</math> cu <math>(\,x, y)\,=1</math>. Deoarece <math>a<b</math> avem <math>x<y</math>. Cum x și y sunt numere naturale avem <math>y-x \geq 1</math>. Atunci <math>b-a=3(\,y-x)\, \geq 3 \cdot 1=3</math>, de unde <math>b \geq a+3</math>.
+ii) Din <math>(a, b)= 3</math> rezultă <math>a=3x</math> și <math>b=3y</math> cu <math>(x, y)\,=1</math>. Deoarece <math>a<b</math> avem <math>x<y</math>. Cum <math>x</math> și <math>y</math> sunt numere naturale avem <math>y-x \geq 1</math>.
+Atunci <math>b-a=3(\,y-x)\, \geq 3 \cdot 1=3</math>, de unde <math>b \geq a+3</math>.