E:14892: Difference between revisions

Latest revision as of 20:29, 20 December 2023

E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)

Fie triunghiul $ABC$ cu $m\left(\sphericalangle C\right)>30^{\circ }$ și punctele $M$ , $P$ , $R$ , $T$ . Punctul $M$ este situat în interiorul triunghiului $ABC$ astfel încât $m\left(\sphericalangle BMA\right)=120^{\circ }$ și $m\left(\sphericalangle BCM\right)=30^{\circ }$ , punctul $P\in \left(MD\right.$ astfel încât $\left[MP\right]\equiv \left[MB\right]$ cu $AM\cap BC=\left\{D\right\}$ , iar $R\in \left(AB\right)$ și $T\in \left(AC\right)$ astfel încât $m\left(\sphericalangle RBM\right)={\frac {1}{2}}\cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)$ și $m\left(\sphericalangle TPM\right)=2\cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)$ .

Arătați că ${\frac {1}{2}}\cdot m\left(\sphericalangle RPT\right)=m\left(\sphericalangle MRT\right)+m\left(\sphericalangle MTR\right)$
Determinați măsura unghiului $\sphericalangle ARM$
Arătați că $m\left(\sphericalangle MRT\right)+m\left(\sphericalangle MAT\right)=m\left(\sphericalangle DMC\right)$

Soluție miniatura

Folosim notațiile $m\left(\sphericalangle RBM\right)=a$ și $m\left(\sphericalangle TCM\right)=b$ . Atunci $m\left(\sphericalangle MPR\right)=2a$ și $m\left(\sphericalangle MPT\right)=2b$ .

Cum $m\left(\sphericalangle BMA\right)=120^{\circ }$ , avem $m\left(\sphericalangle BMP\right)=60^{\circ }$ și $\left[MP\right]\equiv \left[MB\right]$ , deci triunghiul $BMP$ este echilateral.

În triunghiul $BPR$ avem $m\left(\sphericalangle RBP\right)=a+60^{\circ }$ și $m\left(\sphericalangle BPR\right)=60^{\circ }-2a$ , deci $m\left(\sphericalangle BRP\right)=180^{\circ }-\left(60^{\circ }+a\right)-\left(60^{\circ }-2a\right)=60^{\circ }+a=m\left(\sphericalangle RBP\right)$ . Cum $\sphericalangle RBP\equiv \sphericalangle PBR$ , rezultă că triunghiul $PBR$ este isoscel, cu

\left[BP\right]\equiv \left[RP\right].

Fie

E

simetricul punctului

M

față de punctul

P

. Atunci triunghiul

MBE

este dreptunghic, cu

m\left(\sphericalangle MBE\right)=90^{\circ }

și

m\left(\sphericalangle BMP\right)=60^{\circ }

, deci

m\left(\sphericalangle BEM\right)=30^{\circ }=m\left(\sphericalangle BCM\right)

, deci patrulaterul

BMCE

este inscriptibil.

Notăm $x=m\left(\sphericalangle CBP\right)=m\left(\sphericalangle BCP\right)$ . Avem $m\left(\sphericalangle MPC\right)=m\left({\stackrel {\frown }{MC}}\right)=2\cdot m\left(\sphericalangle MBC\right)=2\left(60^{\circ }-x\right)$ . Atunci $m\left(\sphericalangle TPC\right)=m\left(\sphericalangle MPC\right)-m\left(\sphericalangle MPT\right)=2\left(60^{\circ }-x\right)-2b$ .

În triunghiul $TPC$ avem $m\left(\sphericalangle TCP\right)=b+30^{\circ }+x$ și $m\left(\sphericalangle TPC\right)=120^{\circ }-2b-2x$ , deci $m\left(\sphericalangle PTC\right)=180^{\circ }-\left(b+30^{\circ }+x\right)-\left(120^{\circ }-2b-2x\right)=30^{\circ }+b+x=m\left(\sphericalangle TCP\right)$ . Cum $\sphericalangle TCP\equiv \sphericalangle PCT$ , rezultă că triunghiul $PCT$ este isoscel, cu

\left[CP\right]\equiv \left[TP\right].

Deci punctele

M

,

R

,

B

,

C

,

T

sunt conciclice.

a) Avem $m\left(\sphericalangle RPT\right)=m\left({\stackrel {\frown }{RT}}\right)=m\left({\stackrel {\frown }{RM}}\right)+m\left({\stackrel {\frown }{MT}}\right)=2\cdot m\left(\sphericalangle MTR\right)+2\cdot m\left(\sphericalangle MRT\right)$ , deci ${\frac {1}{2}}\cdot m\left(\sphericalangle RPT\right)=m\left(\sphericalangle MRT\right)+m\left(\sphericalangle MTR\right).$

b) Avem $m\left(\sphericalangle ARM\right)={\frac {1}{2}}\cdot m\left({\stackrel {\frown }{BM}}\right)=m\left(\sphericalangle BCM\right)=30^{\circ }.$

c) Din $m\left(\sphericalangle DMC\right)=m\left(\sphericalangle MAC\right)+m\left(\sphericalangle AMC\right)$ , și $m\left({\stackrel {\frown }{MT}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot m\left(\sphericalangle MCT\right)={\frac {1}{2}}\cdot m\left(\sphericalangle MRT\right)$ se deduce că are loc egalitatea

m\left(\sphericalangle MRT\right)+m\left(\sphericalangle MAT\right)=m\left(\sphericalangle DMC\right)

@@ Line 14: / Line 14: @@
 Cum <math>m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ</math>, avem <math>m\left(\sphericalangle BMP\right) = 60^\circ</math> și <math>\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]</math>, deci triunghiul <math>BMP</math> este echilateral.
-În triunghiul <math>BPR</math> avem <math>m\left(\sphericalangle RBP\right) = a + 60^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BPR\right) = 60^\circ - 2a</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle BRP\right) = 180^\circ - \left(60^\circ + a\right) - \left(60^\circ -2a\right) = 60^\circ + a = m\left(\sphericalangle RBP\right)</math>. Cum <math>\sphericalangle RBP \equiv \sphericalangle PBR</math>, rezultă că triunghiul <math>PBR</math> este isoscel, cu <math>\left[ BP \right] \equiv \left[RP\right]</math>.
+În triunghiul <math>BPR</math> avem <math>m\left(\sphericalangle RBP\right) = a + 60^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BPR\right) = 60^\circ - 2a</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle BRP\right) = 180^\circ - \left(60^\circ + a\right) - \left(60^\circ -2a\right) = 60^\circ + a = m\left(\sphericalangle RBP\right)</math>. Cum <math>\sphericalangle RBP \equiv \sphericalangle PBR</math>, rezultă că triunghiul <math>PBR</math> este isoscel, cu <math display="block" id="eq1">\left[ BP \right] \equiv \left[RP\right].</math>Fie <math>E</math> simetricul punctului <math>M</math> față de punctul <math>P</math>. Atunci triunghiul <math>MBE</math> este dreptunghic, cu <math>m\left(\sphericalangle MBE\right) = 90^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BMP\right) = 60^\circ</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle BEM\right) = 30^\circ = m\left(\sphericalangle BCM\right)</math>, deci patrulaterul <math>BMCE</math> este inscriptibil.
-Fie <math>E</math> simetricul punctului <math>M</math> față de punctul <math>P</math>. Atunci triunghiul <math>MBE</math> este dreptunghic, cu <math>m\left(\sphericalangle MBE\right) = 90^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BMP\right) = 60^\circ</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle BEM\right) = 30^\circ = m\left(\sphericalangle BCM\right)</math>, deci patrulaterul <math>BMCE</math> este inscriptibil.
+Notăm <math>x= m\left(\sphericalangle CBP\right) = m\left(\sphericalangle BCP\right)</math>. Avem <math>m\left(\sphericalangle MPC\right) = m \left(\stackrel{\frown}{MC}\right) = 2\cdot m\left(\sphericalangle MBC\right) = 2\left(60^\circ - x\right)</math>. Atunci <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = m\left(\sphericalangle MPC\right) - m\left(\sphericalangle MPT\right) = 2\left(60^\circ - x\right) - 2b</math>.
-Notăm <math>x= m\left(\sphericalangle CBP\right) = m\left(\sphericalangle BCP\right)</math>. Avem <math>m\left(\sphericalangle MPC\right) =  = 2\cdot m\left(\sphericalangle MBC\right) = 2\left(60^\circ - x\right)</math>. Atunci <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = m\left(\sphericalangle MPC\right) - m\left(\sphericalangle MPT\right) = 2\left(60^\circ - x\right) - 2b</math>.
+În triunghiul <math>TPC</math> avem <math>m\left(\sphericalangle TCP\right) = b + 30^\circ + x</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = 120^\circ - 2b - 2x</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle PTC\right) = 180^\circ - \left(b+30^\circ + x\right) - \left(120^\circ -2b - 2x\right) = 30^\circ + b + x = m\left(\sphericalangle TCP\right)</math>. Cum <math>\sphericalangle TCP \equiv \sphericalangle PCT</math>, rezultă că triunghiul <math>PCT</math> este isoscel, cu <math display="block" id="eq2">\left[ CP \right] \equiv \left[TP\right].</math>Deci punctele <math>M</math>, <math>R</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>T</math> sunt conciclice.
-În triunghiul <math>TPC</math> avem <math>m\left(\sphericalangle TCP\right) = b + 30^\circ + x</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = 120^\circ - 2b - 2x</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle PTC\right) = 180^\circ - \left(b+30^\circ + x\right) - \left(120^\circ -2b - 2x\right) = 30^\circ + b + x = m\left(\sphericalangle TCP\right)</math>. Cum <math>\sphericalangle TCP \equiv \sphericalangle PCT</math>, rezultă că triunghiul <math>PCT</math> este isoscel, cu <math>\left[ CP \right] \equiv \left[TP\right]</math>.
+a) Avem <math>m\left(\sphericalangle RPT\right) = m \left(\stackrel{\frown}{RT}\right) = m\left(\stackrel{\frown}{RM}\right) + m\left(\stackrel{\frown}{MT}\right) = 2\cdot m\left(\sphericalangle MTR\right) + 2\cdot m\left(\sphericalangle MRT\right)</math>, deci <math>\frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPT\right) = m\left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MTR\right).</math>
-Deci punctele <math>M</math>, <math>R</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>T</math> sunt conciclice.
+b) Avem <math>m\left(\sphericalangle ARM\right) = \frac{1}{2}\cdot m\left(\stackrel{\frown}{BM}\right) = m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ.</math>
-a) Avem <math>m\left(\sphericalangle RPT\right) = m \left(\widearc{RT}\right) = m\left(\widearc{RM}\right) + m\left(\widearc{MT}\right) = 2\cdot m\left(\sphericalangle MTR\right) + 2\cdot m\left(\sphericalangle MRT\right)</math>, deci <math>\frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPT\right) = m\left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MTR\right).</math>
+c) Din <math>m\left( \sphericalangle DMC \right) = m\left( \sphericalangle MAC \right) + m\left( \sphericalangle AMC \right)</math>, și <math>m \left( \stackrel{\frown}{MT} \right) = \frac{1}{2} \cdot m\left( \sphericalangle MCT \right) = \frac{1}{2} \cdot m\left( \sphericalangle MRT \right)</math> se deduce că are loc egalitatea <math display="block"> m\left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MAT\right) = m\left(\sphericalangle DMC\right)</math>
-b) Avem <math>m\left(\sphericalangle ARM\right) = \frac{1}{2}\cdot m\left(\widearc{BM}\right) = m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ.</math>