27020: Diferență între versiuni
De la Universitas MediaWiki
Fără descriere a modificării |
Fără descriere a modificării |
||
Linia 8: | Linia 8: | ||
Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui | Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui | ||
<math display="block"> P(X) = \left(X + \frac{1}{2}\right)^{2n} = | <math display="block"> P(X) = \left(X + \frac{1}{2}\right)^{2n} = (X(1+X) + \left.\frac{1}{4}\right.)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k (! - X)^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right)</math> | ||
Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte, | Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte, | ||
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_ | <math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_{n-1}^1 \left.\frac{1}{4}\right. | ||
+ C_n^2 \cdot C_ | + C_n^2 \cdot C_{n-2}^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math> | ||
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math> | <math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math> | ||
deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!}{2^n(n!)^3}\right. .</math> | deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!}{2^n(n!)^3}\right. .</math> |
Versiunea de la data 18 octombrie 2023 17:48
27020 (Gheorghe Szöllösy)
Să se calculeze suma
Soluție:
Fie coeficientul lui din rezolvarea lui
Avem , iar pe de altă parte,
deci suma este egală cu