Gazeta Matematică nr 4 2018: Difference between revisions

Latest revision as of 12:20, 30 September 2023

S:E18.127 (Nicolae Mușuroia)

Un copil se joacă. În prima etapă, scrie un număr pe tablă. La fiecare dintre etapele următoare, înlocuiește numărul de pe tablă cu un altul, obținut după una dintre următoarele reguli: sau scrie dublul numărului, sau scrie numărul obținut prin înlocuirea ultimei cifre a numărului cu ultima cifră a cubului acestuia. Știind că se pornește de la numărul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 18} , stabiliți dacă

a) se poate ajunge la numărul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 78} ;

b) se poate ajunge la numărul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2018} .

S:E18.128 (Vasile Ienuțaș) - soluție

Scrieți numărul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2018^{2017}} ca sumă de patru pătrate perfecte nenule distincte.

S:E18.129 (Ioan-Iulian Bunu)

Determinați numerele prime Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a, b, c} din egalitatea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 5a^6+13b^2+5^c=2018} .

S:E18.130 (Traian Covaciu)

a) Determinați numerele prime Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y,z} astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 8x+9y+60z=1918} .

b) Aflați numerele naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y,z} astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 20x+208y+209z=2018} .

S:E18.131 (Nicolae Mușuroia) - soluție

Determinați cel mai mic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.

S:E18.154 (Nicolae Mușuroia) - soluție

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c \in \mathbb{Z}} cu $b^{2}+c^{2}=a^{2}$ . Arătați că pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in \mathbb{N}^{*}} , ecuația Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0} are soluții reale.

@@ Line 1: / Line 1: @@
+'''S:E18.127 (Nicolae Mușuroia)'''
+Un copil se joacă. În prima etapă, scrie un număr pe tablă. La fiecare dintre etapele următoare, înlocuiește numărul de pe tablă cu un altul, obținut după una dintre următoarele reguli: sau scrie dublul numărului, sau scrie numărul obținut prin înlocuirea ultimei cifre a numărului cu  ultima cifră a cubului acestuia. Știind că se pornește de la numărul <math>18</math>, stabiliți dacă
+a) se poate ajunge la numărul <math>78</math>;
+b) se poate ajunge la numărul <math>2018</math>.
+'''S:E18.128 (Vasile Ienuțaș) -''' [[S:E18.128|soluție]]
+Scrieți numărul <math>2018^{2017}</math> ca sumă de patru pătrate perfecte nenule distincte.
+'''S:E18.129 (Ioan-Iulian Bunu)'''
+Determinați numerele prime <math>a, b, c</math> din egalitatea <math>5a^6+13b^2+5^c=2018</math>.
+'''S:E18.130 (Traian Covaciu)'''
+a) Determinați numerele prime <math>x,y,z</math> astfel încât <math>8x+9y+60z=1918</math>.
+b) Aflați numerele naturale <math>x,y,z</math> astfel încât <math>20x+208y+209z=2018</math>.
+'''S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)''' [[S:E18.131|- soluție]]
+Determinați cel mai mic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.
 '''S:E18.154 (Nicolae Mușuroia)''' [[S:E18.154|- soluție]]
 Fie <math>a,b,c \in \mathbb{Z}</math> cu <math>b^{2}+c^{2}=a^{2}</math>. Arătați că pentru orice <math>n\in \mathbb{N}^{*}</math>, ecuația <math>x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0</math> are soluții reale.