2015-12-4: Difference between revisions

Latest revision as of 11:36, 3 September 2023

Enunț Fie $K$ un corp cu $m\geq 2$ elemente și $f\in K[X]$ . Arătați că următoarele afirmații sunt echivalente:

$(i)$ Există $g\in K[X]$ astfel încât $f(X)=g(X^{m-1})$ ;

$(ii)$ Pentru orice $a\in K^{*}$ avem $f(X)=f(aX)$ .

Soluție.

$(i)\rightarrow (ii)$ Din teorema lui Lagrange aplicată grupului $(K^{*},\cdot )$ avem că $x^{m-1}=1,\forall x\in K^{*}$ , deci

f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)

(ii)\rightarrow (i)

(Robert\ Rogozsan)

Ne folosim de următorul rezultat

Lemă: Fie $F$ un corp finit cu $n$ elemente. Atunci

\sum _{a\in F}a^{k}={\begin{cases}0,&{\text{dacă }}n{\text{ nu divide pe }}k\\-1,&{\text{dacă }}n{\text{ divide pe }}k\end{cases}}

@@ Line 1: / Line 1: @@
-<math>Problema:</math> Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente si <math>f \in K[X]</math>. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
+'''<big>Enunț</big>''' Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente și <math>f \in K[X]</math>. Arătați că următoarele afirmații sunt echivalente:
-<math>(i)</math> Exista <math>g \in K[X]</math> astfel incat <math>f(X)=g(X^{m-1})</math>;
+<math>(i)</math> Există <math>g \in K[X]</math> astfel încât <math>f(X)=g(X^{m-1})</math>;
 <math>(ii)</math> Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.
-<math>Solutie</math>
+'''<big>Soluție.</big>'''
 <math>(i) \rightarrow (ii)</math>
-Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^*,\cdot)</math> avem ca <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^*</math>, deci <math>f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math>.
+Din teorema lui Lagrange aplicată grupului <math>(K^*,\cdot)</math> avem că <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^*</math>, deci <math display="block">f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math><math>(ii) \rightarrow (i)</math> <math>(Robert \ Rogozsan)</math>
-<math>(ii) \rightarrow (i)</math> <math>(Robert \ Rogozsan)</math>
+Ne folosim de următorul rezultat
-Ne folosim de urmatoarea
+'''Lemă:''' Fie <math>F</math> un corp finit cu <math>n</math> elemente. Atunci <math display="block">\sum_{a \in F}a^k=
-<math>Lema:</math> Fie <math>F</math> un corp finit cu <math>n</math> elemente. Atunci <math>\sum_{a \in F}a^k=
              \begin{cases}
-& \text{, dacă } n \text{divide pe} k
+, & \text{dacă } n  \text{ nu divide pe }  k \\
+               -1, & \text{dacă } n  \text{ divide pe } k
-               f(c) & \text{, dacă } n \text{nu divide pe}
              \end{cases}</math>