2015-12-1: Diferență între versiuni
De la Universitas MediaWiki
Fără descriere a modificării |
Fără descriere a modificării |
||
| (Nu s-au afișat 22 de versiuni intermediare efectuate de alți 2 utilizatori) | |||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, | '''<big>Enunț</big>''' Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca există cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0.</math>. | ||
<big>'''Soluție [Robert Rogozsan]'''</big> | |||
Dacă <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> este crescătoare, vom avea că <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math display="block">2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0.</math>Atunci luăm <math>c \in (0,1)</math> arbitrar și concluzia este verificată. Analog, pentru <math> \ f(0) \leq 0</math> (luăm <math>c</math> din <math>(-1,0)</math>). | |||
<math>Observatie:</math> În funcție de cum e <math>f(0)</math> față de <math>0</math>, concluzia se verifică pentru <math>orice \ c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul că <math>f</math> e derivabilă, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>. | |||
Versiunea curentă din 3 septembrie 2023 11:28
Enunț Fie o funcție crescătoare, derivabilă pe cu . Să se arate ca există cel puțin un punct , cu proprietatea că
![{\displaystyle f:[-1,1]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd6b3e94215c6224a6e70a62a912110cbf6a249)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
.
Soluție [Robert Rogozsan]
Dacă , cum este crescătoare, vom avea că , deci
Atunci luăm arbitrar și concluzia este verificată. Analog, pentru (luăm din ).
În funcție de cum e față de , concluzia se verifică pentru (). Nu avem nevoie de faptul că e derivabilă, nici de .
