2015-12-1: Diferență între versiuni
De la Universitas MediaWiki
Fără descriere a modificării |
Fără descriere a modificării |
||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math>2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>. | <math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>. | ||
<math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math> | <math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math> | ||
Cazul <math>1: \ f(0) \geq 0</math>. Cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea ca <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0 \forall t \geq 0</math>. | Cazul <math>1: \ f(0) \geq 0</math>. Cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea ca <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0 \forall t \geq 0</math>. | ||
Versiunea de la data 2 septembrie 2023 13:50
Fie o funcție crescătoare, derivabilă pe cu . Să se arate ca exista cel puțin un punct , cu proprietatea că
![{\displaystyle f:[-1,1]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd6b3e94215c6224a6e70a62a912110cbf6a249)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
.
Cazul . Cum e crescătoare, vom avea ca , deci .
