S:E18.154: Difference between revisions

Latest revision as of 09:19, 8 March 2023

S:E18.154 (Nicolae Mușuroia)

Fie $a,b,c\in \mathbb {Z}$ cu $b^{2}+c^{2}=a^{2}$ . Arătați că pentru orice $n\in \mathbb {N} ^{*}$ , ecuația $x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0$ are soluții reale.

Soluție

Discriminantul ecuației $x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0$ este

\Delta =4\left(a^{2n}-b^{2n}-c^{2n}\right).

Cum

a^{2n}=\left(a^{2}\right)^{n}=\left(b^{2}+c^{2}\right)^{n}\geq b^{2n}+c^{2n}

se obține că

\Delta \geq 0

oricare ar fi

n\in \mathbb {Z}

.

@@ Line 1: / Line 1: @@
-== S ==
+'''S:E18.154 (Nicolae Mușuroia)'''
+Fie <math>a,b,c \in \mathbb{Z}</math> cu <math>b^{2}+c^{2}=a^{2}</math>. Arătați că pentru orice <math>n\in \mathbb{N}^{*}</math>, ecuația <math>x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0</math> are soluții reale.
+'''Soluție'''
+Discriminantul ecuației <math>x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0</math> este <math display="block">\Delta = 4\left(a^{2n}-b^{2n}-c^{2n}\right).</math>Cum <math>a^{2n}= \left(a^2\right)^n=\left(b^2+c^2\right)^n \ge b^{2n}+c^{2n}</math> se obține că <math>\Delta \ge 0</math> oricare ar fi <math>n\in \mathbb{Z}</math>.