28203: Difference between revisions

Latest revision as of 14:48, 1 November 2024

28203 (Dana Heuberger, Baia Mare)

Fie $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ o funcție cu proprietatea

${\mathcal {P}}:f(f(x)-e^{x})=e^{f(x)-e^{x}}+x$ , pentru orice $x\in \mathbb {R} .$

Dați un exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este monotonă.
Dați un exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este continuă.
Fie $f$ o funcție care admite primitive și are proprietatea ${\mathcal {P}}$ . Arătați că, dacă $f(x)\geq e^{x}$ , pentru orice $x\geq 0$ , atunci $f$ este surjectivă.

Soluție:

Considerând funcția $g:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,g(x)=f(x)-e^{x}$ , relația din enunț are forma echivalentă $g(g(x))=x$ , pentru orice $x\in \mathbb {R} ,(1).$

a) Alegem $g(x)=-x$ care verifică $(1)$ , și obținem $f(x)=e^{x}-x$ , care nu este monotonă, întrucât $f'(x)=e^{x}-1$ își schimbă semnul pe $\mathbb {R}$ .

b) Alegem $g(x)={\begin{cases}x,&x\in \mathbb {Q} \\-x,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \end{cases}}$ , care verifică $(1)$ și obținem

$f(x)=e^{x}+g(x)={\begin{cases}e^{x},&x\in \mathbb {Q} \\e^{x}-x,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \end{cases}}$ . Deoarece $f$ este suma dintre o funcție continuă și alta discontinuă (în orice punct din $\mathbb {R} ^{\ast }$ ), rezultă că $f$ este discontinuă.

c) Pe baza ipotezelor asupra funcției $f$ , rezultă că $g(x)\geq 0$ , pentru orice $x\geq 0$ , iar $g$ admite primitive, deci are proprietatea lui Darboux. Combinând această proprietate cu injectivitatea funcției $g$ , obținută din $(1)$ , rezultă că $g$ este strict monotonă și continuă.

În cazul în care $g$ ar fi strict descrescătoare, pe baza surjectivității funcției $g$ , ce se obține din $(1)$ , am avea că $\lim _{x\to \infty }g(x)=-\infty$ , ceea ce contrazice că $g(x)\geq 0$ pentru orice $x\geq 0.$ Prin urmare, $g$ este strict crescătoare, $\lim _{x\to -\infty }g(x)=-\infty$ , $\lim _{x\to \infty }g(x)=\infty$ , ceea ce conduce la $\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ , $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$ , iar surjectivitatea funcției $f$ este o consecință a proprietății lui Darboux, în particular a continuității.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''28203 (Dana Heuberger, Baia Mare)'''
-''Fie <math> f:  \mathbb{R} \longrightarrow  \mathbb{R} </math> o funcție cu proprietatea
+''Fie <math> f:  \mathbb{R} \longrightarrow  \mathbb{R} </math> o funcție cu proprietatea''
 <math>\mathcal{P}: f(f(x)-e^x)=e^{f(x)-e^x} + x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}.</math>
-<ol type="a"><li> Dați exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math>  care nu este monotonă. </li>
+<ol type="a"><li> ''Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math>  care nu este monotonă.''</li>
-<li>  Dați exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math>  care nu este continuă.</li>
+<li> ''Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math>  care nu este continuă.''</li>
-<li>  Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea <math> \mathcal{P}</math> . Arătați că, dacă <math>f(x)\ge e^x</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, atunci <math>f</math> este surjectivă.</li></ol>''
+<li> ''Fie <math>f</math> o funcție care admite primitive și are proprietatea <math> \mathcal{P}</math>. Arătați că, dacă <math>f(x)\ge e^x</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, atunci <math>f</math> este surjectivă.</li></ol>''
 '''Soluție:'''
 Considerând funcția <math>g: \mathbb{R} \longrightarrow  \mathbb{R}, g(x) = f(x) - e^x </math>, relația din enunț are forma echivalentă <math>g(g(x)) = x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}, (1).</math>
-a) Alegem <math>g(x)=-x</math> care verifică (1), și obținem <math>f(x)=e^x-x</math>, care nu este monotonă,, întrucât  <math>f'(x)=e^x-1</math> își schimbă semnul pe <math> \mathbb{R}</math>.
+a) Alegem <math>g(x)=-x</math> care verifică <math>(1)</math>, și obținem <math>f(x)=e^x-x</math>, care nu este monotonă, întrucât  <math>f'(x)=e^x-1</math> își schimbă semnul pe <math> \mathbb{R}</math>.
+b) Alegem <math> g(x) = \begin{cases} x,  & x\in \mathbb{Q} \\-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>, care verifică <math>(1)</math> și obținem
+<math>f(x)= e^x + g(x) = \begin{cases} e^x,  & x\in \mathbb{Q} \\e^x-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>. Deoarece <math>f</math> este suma dintre o funcție continuă și alta discontinuă (în orice punct din <math>\mathbb{R}^\ast</math> ), rezultă că <math>f</math> este discontinuă.
-b) Alegem <math> g(x) = \begin{cases} x,  & x\in \mathbb{Q} \\-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>, care verifică (1) și obținem
+c) Pe baza ipotezelor asupra funcției <math>f</math>, rezultă că <math>g(x)\ge 0</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, iar <math>g</math> admite primitive, deci are proprietatea lui Darboux. Combinând această proprietate cu injectivitatea funcției <math>g</math>, obținută din <math>(1)</math>, rezultă că <math>g</math> este strict monotonă și continuă.
-<math>f(x)= e^x + g(x) = \begin{cases} e^x,  & x\in \mathbb{Q} \\e^x-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>. Deoarece <math>f</math> este suma dintre o funcție continuă și alta discontinuă (în orice punct din <math>\mathbb{R}\ast</math> ), rezultă că <math>f</math> este discontinuă.
+În cazul în care <math>g</math> ar fi strict descrescătoare, pe baza surjectivității funcției <math>g</math>, ce se obține din <math>(1)</math>, am avea că <math>\lim_{x \to \infty}g(x) =-\infty </math>, ceea ce contrazice că <math>g(x)\ge 0</math> pentru orice <math>x\ge 0.</math> Prin urmare, <math>g</math> este strict crescătoare, <math>\lim_{x \to -\infty}g(x) =-\infty </math>, <math>\lim_{x \to \infty}g(x) =\infty </math>, ceea ce conduce la <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) =-\infty </math>, <math>\lim_{x \to \infty}f(x) =\infty </math>, iar surjectivitatea funcției <math>f</math> este o consecință a proprietății lui Darboux, în particular a continuității.