|
|
| (One intermediate revision by the same user not shown) |
| Line 1: |
Line 1: |
| <math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca există cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0.</math>. | | '''<big>Enunț</big>''' Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca există cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0.</math> |
|
| |
|
| <big>'''Soluție [Robert Rogozsan]'''</big> | | <big>'''Soluție [Robert Rogozsan]'''</big> |
Enunț Fie ![{\displaystyle f:[-1,1]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd6b3e94215c6224a6e70a62a912110cbf6a249)
o funcție crescătoare, derivabilă pe ![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
cu 
. Să se arate ca există cel puțin un punct 
, cu proprietatea că
Soluție [Robert Rogozsan]
Dacă 
, cum 
este crescătoare, vom avea că 
, deci
Atunci luăm
arbitrar și concluzia este verificată. Analog, pentru
(luăm
din
).
În funcție de cum e 
față de 
, concluzia se verifică pentru 
(). Nu avem nevoie de faptul că e derivabilă, nici de .
