P:1795: Difference between revisions

Latest revision as of 03:26, 14 September 2025

P:1795 (Gheorghe Boroica)

Numărul $42$ se scrie ca și produsul a $2025$ numere naturale. Determinați suma minimă a tuturor factorilor acestui produs.

Soluție

Sunt posibile următoarele scrieri ale numărului $42$ ca și produs de $2025$ de factori:

42=2\cdot 3\cdot 7\cdot \underbrace {1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1} _{2022}

42=6\cdot 7\cdot \underbrace {1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1} _{2023}

42=2\cdot 21\cdot \underbrace {1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1} _{2023}

42=3\cdot 14\cdot \underbrace {1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1} _{2023}

42=42\cdot \underbrace {1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1} _{2024}

Pentru fiecare dintre aceste produse se obțin următoarele sume ale factorilor lor:

S_{1}=2+3+7+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{2022}=12+2022=2034,

S_{2}=6+7+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{2023}=13+2023=2036,

S_{3}=2+21+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{2023}=23+2023=2046,

S_{4}=3+14+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{2023}=17+2023=2040,

S_{5}=42+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{2024}=42+2024=2066.

În concluzie, suma minimă $2034$ se obține pentru produsul $42=2\cdot 3\cdot 7\cdot \underbrace {1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1} _{2022}$ .

@@ Line 6: / Line 6: @@
 Sunt posibile următoarele scrieri ale numărului <math>42</math> ca și produs de <math>2025</math> de factori:
-<math display="block">42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \stackrel{1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}{2022}</math>
+<math display="block">42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \underbrace{1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{2022}</math><math display="block">42 = 6 \cdot  7 \cdot \underbrace{1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{2023}</math>
-<math display="block">42 = 6 \cdot  7 \cdot \stackrel{1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}{2023}</math>
+<math display="block">42 = 2 \cdot  21 \cdot  \underbrace{1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{2023}</math>
-<math display="block">42 = 2 \cdot  21 \cdot \stackrel{1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}{2023}</math>
+<math display="block">42 = 3 \cdot  14 \cdot  \underbrace{1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{2023}</math>
-<math display="block">42 = 3 \cdot  14 \cdot \stackrel{1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}{2023}</math>
+<math display="block">42 = 42 \cdot  \underbrace{1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{2024}</math>
-<math display="block">42 = 42 \cdot \stackrel{1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}{2024}</math>
 Pentru fiecare dintre aceste produse se obțin următoarele sume ale factorilor lor:
-<math display="block">S_1 = 2 + 3 + 7 + \stackrel{1+ 1 + \ldots + 1}{2022} = 12+2022 = 2034,</math>
+<math display="block">S_1 = 2 + 3 + 7 + \underbrace{1+ 1 + \ldots + 1}_{2022} = 12+2022 = 2034,</math>
-<math display="block">S_2 = 6 + 7 + \stackrel{1+ 1 + \ldots + 1}{2023} = 13+2023 = 2036,</math>
+<math display="block">S_2 = 6 + 7 + \underbrace{1+ 1 + \ldots + 1}_{2023} = 13+2023 = 2036,</math>
-<math display="block">S_3 = 2 + 21 + \stackrel{1+ 1 + \ldots + 1}{2023} = 23+2023 = 2046,</math>
+<math display="block">S_3 = 2 + 21 + \underbrace{1+ 1 + \ldots + 1}_{2023} = 23+2023 = 2046,</math>
-<math display="block">S_4 = 3 + 14 + \stackrel{1+ 1 + \ldots + 1}{2023} = 17+2023 = 2040,</math>
+<math display="block">S_4 = 3 + 14 + \underbrace{1+ 1 + \ldots + 1}_{2023} = 17+2023 = 2040,</math>
-<math display="block">S_5 = 42 + \stackrel{1+ 1 + \ldots + 1}{2024} = 42+2024 = 2066.</math>
+<math display="block">S_5 = 42 + \underbrace{1+ 1 + \ldots + 1}_{2024} = 42+2024 = 2066.</math>
-În concluzie, suma minimă <math>2034</math> se obține pentru produsul <math>42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \stackrel{1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}{2022}</math>.
+În concluzie, suma minimă <math>2034</math> se obține pentru produsul <math>42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \underbrace{1\cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{2022}</math>.