S:E18.122

S:E18.122 (Florin Bojor)

Verificați dacă numărul $a={1^{{3}^{{5}^{{\cdots }^{2019}}}}}+{3^{{5}^{{7}^{{\cdots }^{2019}}}}}+{5^{{7}^{{9}^{{\cdots }^{2019}}}}}+\ldots +{2017^{2019}}+2019$ este divizibil cu $10$.

Soluție.

Notăm cu $u\left(n\right)$ ultima cifră a numărului natural $n$, iar prin ${\overline {n}}$ notăm numărul $n^{{n+2}^{{n+4}^{\ldots 2019}}}$. Cu această notație, avem

$$a={\overline {1}}+{\overline {3}}+{\overline {5}}+\ldots +{\overline {2019}}$$

este o sumă cu 1010 tremeni.

Dacă $u\left(n\right)=1$, atunci $u\left(n^{x}\right)=1$ oricare ar fi $x\in \mathbb {N}$. Deci

$$u\left({\overline {1}}\right)=u\left({\overline {11}}\right)=u\left({\overline {21}}\right)=\ldots =u\left({\overline {2011}}\right)=1,$$

sunt $202$ astfel de numere.

Dacă $u\left(n\right)=5$, atunci $u\left(n^{x}\right)=5$ oricare ar fi $x\in \mathbb {N}$. Deci

$$u\left({\overline {5}}\right)=u\left({\overline {15}}\right)=u\left({\overline {25}}\right)=\ldots =u\left({\overline {2015}}\right)=5,$$

sunt $202$ astfel de numere.

Cum $u\left(9^{2x+1}\right)=9$ oricare ar fi $x\in \mathbb {N}$, avem că

$$u\left({\overline {9}}\right)=u\left({\overline {19}}\right)=u\left({\overline {29}}\right)=\ldots =u\left({\overline {2019}}\right)=9,$$

sunt $202$ astfel de numere.

Cum $u\left(3^{4x+1}\right)=3$ și $u\left(3^{4x+3}\right)=7$ oricare ar fi $x\in \mathbb {N}$, avem $101$ pentru care au loc egalitățile

$$u\left({\overline {3}}\right)=u\left({\overline {23}}\right)=u\left({\overline {43}}\right)=\ldots =u\left({\overline {2003}}\right)=3$$

și $101$ pentru care au loc egalitățile

$$u\left({\overline {13}}\right)=u\left({\overline {33}}\right)=u\left({\overline {53}}\right)=\ldots =u\left({\overline {2013}}\right)=7.$$

Cum $u\left(7^{4x+1}\right)=7$ și $u\left(7^{4x+3}\right)=3$ oricare ar fi $x\in \mathbb {N}$, avem $101$ pentru care au loc egalitățile

$$u\left({\overline {7}}\right)=u\left({\overline {27}}\right)=u\left({\overline {47}}\right)=\ldots =u\left({\overline {2007}}\right)=7$$

și $101$ pentru care au loc egalitățile

$$u\left({\overline {17}}\right)=u\left({\overline {37}}\right)=u\left({\overline {57}}\right)=\ldots =u\left({\overline {2017}}\right)=3.$$

În concluzie, se obține

$$u\left(a\right)=u\left(202\cdot 1+101\cdot \left(3+7\right)+202\cdot 5+101\cdot \left(7+3\right)+202\cdot 9\right)=0,$$

ceea ce implcă faptul că numărul $a$ este divizibil cu $10$.