E:16610

E:16610 (Cristina Vijdeluc, Salonic și Mihai Vijdeluc)

Aflați numerele naturale ${\overline {abc}}$, știind că ${\overline {ab}}$ și ${\overline {cb}}$ sunt numere prime și ${\overline {ab}}^{2}+{\overline {cb}}^{2}+b^{2}=2027$.

Soluție

Din relația dată deducem că ${\overline {ab}}\leq 43$, ${\overline {cb}}\leq 43$. În plus, cum acestea sunt numere prime de două cifre, trebuie să fie impare nedivizibile cu 5, prin urmare $b\in \{1,3,7,9\}$. Ținând cont de ultima cifră, rămâne $b=3$ sau $b=7$.

Pentru $b=7$ avem ${\overline {ab}},{\overline {cb}}\in \{17,37\}$, care nu verifică.

Pentru $b=3$ avem ${\overline {ab}},{\overline {cb}}\in \{13,23,43\}$, dintre care verifică ${\overline {ab}}=13$, ${\overline {cb}}=43$ și ${\overline {ab}}=43$, ${\overline {cb}}=13$.

Prin urmare, ${\overline {abc}}$ este $134$ sau $431$.