E:14763: Difference between revisions

From Bitnami MediaWiki
mNo edit summary
No edit summary
 
(2 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 5: Line 5:
'''Soluție'''
'''Soluție'''


Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' este echivalent ă cu <math>p \left( p^2-1-3pq \right) = q \left( q^2 + 1 - 3pq \right)</math>. Cum numerele <math>p</math> și <math>q</math> sunt prime,
Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' este echivalent ă cu <math>p \left( p^2-1-3pq \right) = q \left( q^2 + 1 - 3pq \right)</math>. Cum numerele <math>p</math> și <math>q</math> sunt prime, se deduce că  <math>p\,  | \, q^2 + 1 - 3pq </math>, respectiv <math>q\,  | \, p^2 - 1 - 3pq </math>, deci <math>p\,  | \, q^2 + 1 </math> și <math>q\,  | \, p^2 - 1 </math>.
 
Pentru <math>2=q < p</math>, egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' devine <math>6p^2 + 10 = p \left( p^2 + 11 \right)</math>, ceea ce implică
 
pe de o parte  <math>p \, | \, 10</math>, deci <math> p = 5</math>, valoare care nu convine, sau
 
pe de altă parte <math>p^2 + 11 \, | \, 6p^2 + 10</math>, ceea ce conduce la <math>p^2 \in \left\{3,17,45\right\}</math>, valori care nu convin.
 
Pentru <math>2 < q < p</math>, considerăm că <math>p</math> este un număr prim de forma <math>3k+1</math> sau <math>3k+2</math>, cu <math>k \in \mathbb{N} \setminus \left\{0\right\}</math>. Atunci <math>p^2 - 1 \in \mathcal{M}_3</math>. Din <math>q\,  | \, p^2 - 1 </math> și <math>q</math> număr prim, rezultă <math>q = 3</math>. Acum <math>p\,  | \, q^2 + 1 </math> revine la <math>p\,  | \, 10 </math>, cu <math>p>3 </math>, deci <math>p = 5</math>.
 
Numerele căutate sunt <math>p = 5</math> și <math>q = 3</math>.


'''Observație:''' Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' revine la <math>p+q = \left( p-q\right)^3</math>
'''Observație:''' Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' revine la <math>p+q = \left( p-q\right)^3</math>

Latest revision as of 16:39, 18 December 2024

E:14763 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați numerele prime și , cu , știind că .

Soluție

Egalitatea este echivalent ă cu . Cum numerele și sunt prime, se deduce că , respectiv , deci și .

Pentru , egalitatea devine , ceea ce implică

pe de o parte , deci , valoare care nu convine, sau

pe de altă parte , ceea ce conduce la , valori care nu convin.

Pentru , considerăm că este un număr prim de forma sau , cu . Atunci . Din și număr prim, rezultă . Acum revine la , cu , deci .

Numerele căutate sunt și .

Observație: Egalitatea revine la