S:E15.325: Difference between revisions

Latest revision as of 18:46, 3 December 2024

E:15325 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Determinați numerele naturale ${\overline {abcd}}$ pentru care:

{\frac {\sqrt {d+2\cdot {\overline {abc}}}}{\overline {d0}}}={\frac {\sqrt {3\cdot {\overline {abc}}}}{\overline {abc}}}

Soluție:

Prin ridicare la pătrat obținem:

{\frac {d+2\cdot {\overline {abc}}}{{\overline {d0}}^{2}}}={\frac {3}{\overline {abc}}}

Notăm ${\overline {abc}}=x$ și avem:

x\cdot (d+2x)=300d^{2}

sau

2x^{2}+dx-300d^{2}=0

cu soluțiile:

x=12d\quad {\text{și}}\quad x=-{\frac {25d}{2}}

Prin urmare ${\overline {abc}}=12d$ . Pentru $d=9$ obținem ${\overline {abc}}=108$ și numărul căutat este $1089$ , iar pentru $d\leq 8$ nu avem soluții deoarece $12d\leq 96$ .

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''S:E15.325 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''
+'''E:15325 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''
 ''Determinați numerele naturale <math>\overline{abcd}</math> pentru care:''
-<math display="block">\frac{\sqrt{d+2 \cdot \overline{abc}}}{\overline{d_0}} = \frac{\sqrt{3 \cdot \overline{abc}}}{\overline{abc}}</math>
+<math display="block">\frac{\sqrt{d+2 \cdot \overline{abc}}}{\overline{d0}} = \frac{\sqrt{3 \cdot \overline{abc}}}{\overline{abc}}</math>
 '''Soluție:'''
-''Prin ridicare la pătrat obținem... Notăm și...''
+''Prin ridicare la pătrat obținem:''
+<math display="block">\frac{d + 2 \cdot \overline{abc}}{\overline{d0}^2} = \frac{3}{\overline{abc}}</math>
+''Notăm <math>\overline{abc} = x</math> și avem:''
+<math display="block">x \cdot (d + 2x) = 300d^2</math>
+''sau''
+<math display="block">2x^2 + dx - 300d^2 = 0</math>
+''cu soluțiile:''
+<math display="block">x = 12d \quad \text{și} \quad x = -\frac{25d}{2}</math>
+''Prin urmare <math>\overline{abc} = 12d</math>. Pentru <math>d = 9</math> obținem <math>\overline{abc} = 108</math> și numărul căutat este <math>1089</math>, iar pentru <math>d \leq 8</math> nu avem soluții deoarece <math>12d \leq 96</math>.''