S:L22.108 - Revision history

Cosmin.SABO at 05:03, 24 July 2024

2024-07-24T05:03:09Z

← Older revision		Revision as of 05:03, 24 July 2024
Line 8:		Line 8:

	Fie polinomul <math>f = \det \left( A+X\cdot B\right) \in \mathbb{R}\left[X\right]</math>. Atunci, există <math>m, n \in \mathbb{R}</math> pentru care <math display="block">f\left( x\right) = \det\left(B\right) \cdot x^3 + mx^2 + nx +\det(A), \forall x\in \mathbb{C}.</math>		Fie polinomul <math>f = \det \left( A+X\cdot B\right) \in \mathbb{R}\left[X\right]</math>. Atunci, există <math>m, n \in \mathbb{R}</math> pentru care <math display="block">f\left( x\right) = \det\left(B\right) \cdot x^3 + mx^2 + nx +\det(A), \forall x\in \mathbb{C}.</math>
	Cum <math>f\left( i\right) \cdot f\left( -i \right)=0</math> , avem <math>f\left( i\right) = f\left( -i \right) = 0</math> , deci <math>x_1 = i</math> și <math>x_2 = -i</math> sunt rădăcini ale polinomului <math>f</math>.		Cum <math>f\left( i\right) \cdot f\left( -i \right)=0</math> , avem <math>f\left( i\right) = f\left( -i \right) = 0</math> , deci <math>x_1 = i</math> și <math>x_2 = -i</math> sunt rădăcini ale polinomului <math>f</math>.

	Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem <math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math> Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică <math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math> Atunci <math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math> și <math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math> Avem'' <math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1}. </math>''Cum <math>\alpha = \frac{\det(A)}{\det(B)} </math> se obține <math display="block">\frac{\alpha+1}{\alpha -1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A) - \det(B)} </math> În concluzie, are loc egalitatea''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''		Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem <math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math> Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică <math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math> Atunci <math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math> și <math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math> Avem'' <math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1}. </math>''Cum <math>\alpha = \frac{\det(A)}{\det(B)} </math> se obține <math display="block">\frac{\alpha+1}{\alpha -1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A) - \det(B)} </math> În concluzie, are loc egalitatea''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''

Cosmin.SABO at 05:00, 24 July 2024

2024-07-24T05:00:18Z

← Older revision		Revision as of 05:00, 24 July 2024
Line 8:		Line 8:

	Fie polinomul <math>f = \det \left( A+X\cdot B\right) \in \mathbb{R}\left[X\right]</math>. Atunci, există <math>m, n \in \mathbb{R}</math> pentru care <math display="block">f\left( x\right) = \det\left(B\right) \cdot x^3 + mx^2 + nx +\det(A), \forall x\in \mathbb{C}.</math>		Fie polinomul <math>f = \det \left( A+X\cdot B\right) \in \mathbb{R}\left[X\right]</math>. Atunci, există <math>m, n \in \mathbb{R}</math> pentru care <math display="block">f\left( x\right) = \det\left(B\right) \cdot x^3 + mx^2 + nx +\det(A), \forall x\in \mathbb{C}.</math>
	Cum <math>f\left( i\right) \cdot f\left( -i \right)=0</math> , avem <math>f\left( i\right) = f\left( -i \right) = 0</math> , deci <math>x_1 = i</math> și <math>x_2 = -i</math> sunt rădăcini ale polinomului <math>f</math>.		Cum <math>f\left( i\right) \cdot f\left( -i \right)=0</math> , avem <math>f\left( i\right) = f\left( -i \right) = 0</math> , deci <math>x_1 = i</math> și <math>x_2 = -i</math> sunt rădăcini ale polinomului <math>f</math>.

	Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem <math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math> Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică <math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math> Atunci <math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math> și <math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math> Avem'' <math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1}. </math>''Cum <math>\alpha = \frac{\det(A)}{\det(B)} </math> se obține <math display="block">\frac{\alpha+1}{\alpha -1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A) - \det(B)} </math> În concluzie, are loc egalitatea''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''		Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem <math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math> Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică <math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math> Atunci <math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math> și <math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math> Avem'' <math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1}. </math>''Cum <math>\alpha = \frac{\det(A)}{\det(B)} </math> se obține <math display="block">\frac{\alpha+1}{\alpha -1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A) - \det(B)} </math> În concluzie, are loc egalitatea''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''

Cosmin.SABO at 04:58, 24 July 2024

2024-07-24T04:58:54Z

← Older revision		Revision as of 04:58, 24 July 2024
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție.'''		'''Soluție.'''

	Ipotezele <math>\det(A^2+B^2) = 0</math> și <math>AB=BA</math>, cu ''<math>A, B \in \mathcal{M}_3 \left( \mathbb{R}\right)</math>'', implică<math display="block">\det \left( A+iB \right) \cdot \det\left( A- iB\right) =0</math>Fie polinomul <math>f = \det \left( A+X\cdot B\right) \in \mathbb{R}\left[X\right]</math>. Atunci, există <math>m, n \in \mathbb{R}</math> pentru care<math display="block">f\left( x\right) = \det\left(B\right) \cdot x^3 + mx^2 + nx +\det(A), \forall x\in \mathbb{C}.</math>Cum <math>f\left( i\right) \cdot f\left( -i \right)=0</math>, avem <math>f\left( i\right) = f\left( -i \right) = 0</math>, deci <math>x_1 = i</math> și <math>x_2 = -i</math> sunt rădăcini ale polinomului <math>f</math>.		Ipotezele <math>\det(A^2+B^2) = 0</math> și <math>AB=BA</math>, cu ''<math>A, B \in \mathcal{M}_3 \left( \mathbb{R}\right)</math>'', implică <math display="block">\det \left( A+iB \right) \cdot \det\left( A- iB\right) =0</math>

			Fie polinomul <math>f = \det \left( A+X\cdot B\right) \in \mathbb{R}\left[X\right]</math>. Atunci, există <math>m, n \in \mathbb{R}</math> pentru care <math display="block">f\left( x\right) = \det\left(B\right) \cdot x^3 + mx^2 + nx +\det(A), \forall x\in \mathbb{C}.</math>
			Cum <math>f\left( i\right) \cdot f\left( -i \right)=0</math> , avem <math>f\left( i\right) = f\left( -i \right) = 0</math> , deci <math>x_1 = i</math> și <math>x_2 = -i</math> sunt rădăcini ale polinomului <math>f</math>.

	Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem<math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math>Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică<math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math>Atunci<math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math>și<math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math>Avem''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1}. </math>''Cum <math>\alpha = \frac{\det(A)}{\det(B)} </math> se obține <math display="block">\frac{\alpha+1}{\alpha -1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A) - \det(B)} </math>În concluzie, are loc egalitatea''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''		Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem <math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math> Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică <math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math> Atunci <math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math> și <math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math> Avem'' <math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1}. </math>''Cum <math>\alpha = \frac{\det(A)}{\det(B)} </math> se obține <math display="block">\frac{\alpha+1}{\alpha -1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A) - \det(B)} </math> În concluzie, are loc egalitatea''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''

Andrei.Horvat at 08:51, 20 July 2024

2024-07-20T08:51:42Z

← Older revision		Revision as of 08:51, 20 July 2024
Line 8:		Line 8:


	Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem<math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math>Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică<math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math>Atunci<math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math>și<math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math>Avem''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1} = \frac~~{\dfrac~~{\det(A)}{\det(B)}+1}{\~~dfrac~~{\det(A)}{\det(B)}-1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''		Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem<math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math>Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică<math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math>Atunci<math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math>și<math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math>Avem''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1}. </math>''Cum <math>\alpha = \frac{\det(A)}{\det(B)} </math> se obține <math display="block">\frac{\alpha+1}{\alpha -1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A) - \det(B)} </math>În concluzie, are loc egalitatea''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''

Andrei.Horvat at 08:42, 20 July 2024

2024-07-20T08:42:45Z

← Older revision		Revision as of 08:42, 20 July 2024
Line 8:		Line 8:


	Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem<math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math>Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică<math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math>Atunci<math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math>și<math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math>Avem''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1} = \frac{\~~frac~~{\det(A)}{\det(B)}+1}{\~~frac~~{\det(A)}{\det(B)}-1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''		Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem<math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math>Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică<math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math>Atunci<math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math>și<math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math>Avem''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1} = \frac{\dfrac{\det(A)}{\det(B)}+1}{\dfrac{\det(A)}{\det(B)}-1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''

Andrei.Horvat at 08:37, 20 July 2024

2024-07-20T08:37:50Z

← Older revision		Revision as of 08:37, 20 July 2024
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție.'''		'''Soluție.'''

	Ipotezele <math>\det(A^2+B^2) = 0</math> și <math>AB=BA</math>, cu ''<math>A, B \in \mathcal{M}_3 \left( \mathbb{R}\right)</math>'', implică <math display="block">\det \left( A+iB \right) \cdot \det\left( A- iB\right) =0</math>Fie polinomul <math>f = \det \left( A+X\cdot B\right) \in \mathbb{R}\left[X\right]</math>. Atunci, există <math>m, n \in \mathbb{R}</math> pentru care<math display="block">f\left( x\right) = \det\left(B\right) \cdot x^3 + mx^2 + nx +\det(A), \forall x\in \mathbb{C}.</math> Cum <math>f\left( i\right) \cdot f\left( -i \right)=0</math>, avem <math>f\left( i\right) = f\left( -i \right) = 0</math>, deci <math>x_1 = i</math> și <math>x_2 = -i</math> sunt rădăcini ale polinomului <math>f</math>.		Ipotezele <math>\det(A^2+B^2) = 0</math> și <math>AB=BA</math>, cu ''<math>A, B \in \mathcal{M}_3 \left( \mathbb{R}\right)</math>'', implică<math display="block">\det \left( A+iB \right) \cdot \det\left( A- iB\right) =0</math>Fie polinomul <math>f = \det \left( A+X\cdot B\right) \in \mathbb{R}\left[X\right]</math>. Atunci, există <math>m, n \in \mathbb{R}</math> pentru care<math display="block">f\left( x\right) = \det\left(B\right) \cdot x^3 + mx^2 + nx +\det(A), \forall x\in \mathbb{C}.</math>Cum <math>f\left( i\right) \cdot f\left( -i \right)=0</math>, avem <math>f\left( i\right) = f\left( -i \right) = 0</math>, deci <math>x_1 = i</math> și <math>x_2 = -i</math> sunt rădăcini ale polinomului <math>f</math>.

	Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem<math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math>Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică <math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math>Atunci <math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math>și <math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math>Avem ''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1} = \frac{\frac{\det(A)}{\det(B)}+1}{\frac{\det(A)}{\det(B)}-1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''
			Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem<math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math>Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică<math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math>Atunci<math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math>și<math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math>Avem''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1} = \frac{\frac{\det(A)}{\det(B)}+1}{\frac{\det(A)}{\det(B)}-1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''

Andrei.Horvat at 08:35, 20 July 2024

2024-07-20T08:35:00Z

← Older revision		Revision as of 08:35, 20 July 2024
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție.'''		'''Soluție.'''

	Ipotezele <math>\det(A^2+B^2) = 0</math> și <math>AB=BA</math>, cu ''<math>A, B \in \mathcal{M}_3 \left( \mathbb{R}\right)</math>'', implică <math display="block">\det \left( A+iB \right) \cdot \det\left( A- iB\right) =0</math>Fie polinomul <math>f = \det \left( A+X\cdot B\right) \in \mathbb{R}\left[X\right]</math>. Atunci, există <math>m,n \in \mathbb{R}</math> pentru care<math display="block">f\left( x\right) = \det\left(B\right) \cdot x^3 + mx^2 + nx +\det(A), \forall x\in \mathbb{C}.</math> Cum <math>f\left( i\right) \cdot f\left( -i \right)=0</math>, avem <math>f\left( i\right) = f\left( -i \right) = 0</math>, deci <math>x_1 = i</math> și <math>x_2 = -i</math> sunt rădăcini ale polinomului <math>f</math>.		Ipotezele <math>\det(A^2+B^2) = 0</math> și <math>AB=BA</math>, cu ''<math>A, B \in \mathcal{M}_3 \left( \mathbb{R}\right)</math>'', implică <math display="block">\det \left( A+iB \right) \cdot \det\left( A- iB\right) =0</math>Fie polinomul <math>f = \det \left( A+X\cdot B\right) \in \mathbb{R}\left[X\right]</math>. Atunci, există <math>m, n \in \mathbb{R}</math> pentru care<math display="block">f\left( x\right) = \det\left(B\right) \cdot x^3 + mx^2 + nx +\det(A), \forall x\in \mathbb{C}.</math> Cum <math>f\left( i\right) \cdot f\left( -i \right)=0</math>, avem <math>f\left( i\right) = f\left( -i \right) = 0</math>, deci <math>x_1 = i</math> și <math>x_2 = -i</math> sunt rădăcini ale polinomului <math>f</math>.

	Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem<math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math>Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică <math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right)</math>		Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem<math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math>Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică <math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math>Atunci <math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math>și <math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math>Avem ''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1} = \frac{\frac{\det(A)}{\det(B)}+1}{\frac{\det(A)}{\det(B)}-1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''

Andrei.Horvat at 08:29, 20 July 2024

2024-07-20T08:29:34Z

← Older revision		Revision as of 08:29, 20 July 2024
Line 4:		Line 4:

	'''Soluție.'''		'''Soluție.'''

			Ipotezele <math>\det(A^2+B^2) = 0</math> și <math>AB=BA</math>, cu ''<math>A, B \in \mathcal{M}_3 \left( \mathbb{R}\right)</math>'', implică <math display="block">\det \left( A+iB \right) \cdot \det\left( A- iB\right) =0</math>Fie polinomul <math>f = \det \left( A+X\cdot B\right) \in \mathbb{R}\left[X\right]</math>. Atunci, există <math>m,n \in \mathbb{R}</math> pentru care<math display="block">f\left( x\right) = \det\left(B\right) \cdot x^3 + mx^2 + nx +\det(A), \forall x\in \mathbb{C}.</math> Cum <math>f\left( i\right) \cdot f\left( -i \right)=0</math>, avem <math>f\left( i\right) = f\left( -i \right) = 0</math>, deci <math>x_1 = i</math> și <math>x_2 = -i</math> sunt rădăcini ale polinomului <math>f</math>.

			Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem<math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math>Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică <math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right)</math>

Andrei.Horvat: Pagină nouă: '''S:L22.108. (Nicolae Mușuroia)''' ''Fie $A, B \in \mathcal{M}_3 \left( \mathbb{R}\right)$ cu $AB = BA$ , $A^2+B^2$ neinversabilă și $\det(A) = \alpha \cdot \det(B) \ne 0$ , unde $\alpha \ne 1$ . Arătați că $\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}.$ '' '''Soluție.'''

2024-07-20T08:07:07Z

Pagină nouă: '''S:L22.108. (Nicolae Mușuroia)''' ''Fie <math>A, B \in \mathcal{M}_3 \left( \mathbb{R}\right)</math> cu <math>AB = BA</math>, <math>A^2+B^2</math> neinversabilă și <math>\det(A) = \alpha \cdot \det(B) \ne 0</math>, unde <math>\alpha \ne 1</math>. Arătați că <math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>'' '''Soluție.'''

New page

'''[[S:L22.108]]. (Nicolae Mușuroia)'''

''Fie <math>A, B \in \mathcal{M}_3 \left( \mathbb{R}\right)</math> cu <math>AB = BA</math>, <math>A^2+B^2</math> neinversabilă și <math>\det(A) = \alpha \cdot \det(B) \ne 0</math>, unde <math>\alpha \ne 1</math>. Arătați că <math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''

'''Soluție.'''