Andrei.Horvat at 11:52, 7 December 2023

2023-12-07T11:52:22Z

← Older revision		Revision as of 11:52, 7 December 2023
Line 4:		Line 4:

	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

			Pentru <math>n \ge 3</math> un număr impar, avem <math>n=2k+1</math>, cu <math>k\ge 1 </math>. Atunci <math display="block">5^n = 5^{2k+1} = 5^{2k}\cdot 5 = 5^{2k} \cdot \left( 1^2 +1^2 +2^2 \right) = \left( 5^k \right)^2+ \left( 5^k \right)^2 + \left( 2\cdot 5^k\right)^2,</math>deci putem alege soluția <math>x=5^{\frac{n-1}{2}}</math>, <math>y =5^{\frac{n-1}{2}}</math> și <math>z=2\cdot 5^{\frac{n-1}{2}}</math>.

			Pentru <math>n \ge 3</math> un număr par, avem <math>n=2k</math>, cu <math>k\ge 2 </math>. Atunci <math display="block">5^n = 5^{2k} = 5^{2(k-2)}\cdot 5^4 = 5^{2(k-2)} \cdot \left( 12^2 +15^2 +16^2 \right) = \left( 12\cdot 5^{k-2} \right)^2+ \left( 15\cdot 5^{k-2} \right)^2 + \left( 16\cdot 5^{k-2}\right)^2,</math>deci putem alege soluția <math>x=12 \cdot 5^{\frac{n}{2}-2}</math>, <math>y =15\cdot 5^{\frac{n}{2}-2}</math> și <math>z=16\cdot 5^{\frac{n}{2}-2}</math>.

			'''Observație:''' Cum <math>625=5^4=12^2+15^2+16^2=9^2+12^2+20^2</math>, pentru ecuația considerată se pot determina mai multe soluții.

Andrei.Horvat: Pagină nouă: '''S:L21.287 (Gheorghe Boroica)''' ''Arătați că, pentru orice număr natural'' $n \ge 3$ , ''ecuația'' $x^2 + y^2 + z^2 =5^n$ ''are soluții în mulțimea numerelor naturale nenule.'' '''Soluție:'''

2023-12-07T11:36:57Z

Pagină nouă: '''S:L21.287 (Gheorghe Boroica)''' ''Arătați că, pentru orice număr natural'' <math>n \ge 3</math>, ''ecuația'' <math>x^2 + y^2 + z^2 =5^n</math> ''are soluții în mulțimea numerelor naturale nenule.'' '''Soluție:'''

New page

'''S:L21.287 (Gheorghe Boroica)'''

''Arătați că, pentru orice număr natural'' <math>n \ge 3</math>, ''ecuația'' <math>x^2 + y^2 + z^2 =5^n</math> ''are soluții în mulțimea numerelor naturale nenule.''

'''Soluție:'''

S:L21.287 - Revision history

Andrei.Horvat at 11:52, 7 December 2023

Andrei.Horvat: Pagină nouă: '''S:L21.287 (Gheorghe Boroica)''' ''Arătați că, pentru orice număr natural'' n \ge 3, ''ecuația'' x^2 + y^2 + z^2 =5^n ''are soluții în mulțimea numerelor naturale nenule.'' '''Soluție:'''

Andrei.Horvat: Pagină nouă: '''S:L21.287 (Gheorghe Boroica)''' ''Arătați că, pentru orice număr natural'' $n \ge 3$ , ''ecuația'' $x^2 + y^2 + z^2 =5^n$ ''are soluții în mulțimea numerelor naturale nenule.'' '''Soluție:'''