S:E18.122 - Revision history

Andrei.Horvat at 19:15, 14 July 2025

2025-07-14T19:15:55Z

← Older revision		Revision as of 19:15, 14 July 2025
Line 14:		Line 14:
	Cum <math>u\left(9^{2x+1}\right) = 9</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>, avem că<math display="block">u\left(\overline{9}\right) = u\left(\overline{19}\right) = u\left(\overline{29}\right) = \ldots = u\left(\overline{2019}\right) = 9,</math>sunt <math>202</math> astfel de numere.		Cum <math>u\left(9^{2x+1}\right) = 9</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>, avem că<math display="block">u\left(\overline{9}\right) = u\left(\overline{19}\right) = u\left(\overline{29}\right) = \ldots = u\left(\overline{2019}\right) = 9,</math>sunt <math>202</math> astfel de numere.

	Cum <math>u\left(3^{4x+1}\right)=3</math> și <math>u\left(3^{4x+3}\right)=7</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>, avem <math>101</math> pentru care au loc egalitățile<math display="block">u\left(\overline{3}\right) = u\left(\overline{23}\right) = u\left(\overline{43}\right) = \ldots = u\left(\overline{2003}\right) = 3</math>și <math>101</math> pentru care au loc egalitățile<math display="block">u\left(\overline{13}\right) = u\left(\overline{33}\right) = u\left(\overline{53}\right) = \ldots = u\left(\overline{2013}\right) = 7.</math>Cum <math>u\left(7^{4x+1}\right)=7</math> și <math>u\left(7^{4x+3}\right)=3</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>, avem <math>101</math> pentru care au loc egalitățile<math display="block">u\left(\overline{7}\right) = u\left(\overline{27}\right) = u\left(\overline{47}\right) = \ldots = u\left(\overline{2007}\right) = 7</math>și <math>101</math> pentru care au loc egalitățile<math display="block">u\left(\overline{17}\right) = u\left(\overline{37}\right) = u\left(\overline{57}\right) = \ldots = u\left(\overline{2017}\right) = 3.</math>		Cum <math>u\left(3^{4x+1}\right)=3</math> și <math>u\left(3^{4x+3}\right)=7</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>, avem <math>101</math> pentru care au loc egalitățile<math display="block">u\left(\overline{3}\right) = u\left(\overline{23}\right) = u\left(\overline{43}\right) = \ldots = u\left(\overline{2003}\right) = 3</math>și <math>101</math> pentru care au loc egalitățile<math display="block">u\left(\overline{13}\right) = u\left(\overline{33}\right) = u\left(\overline{53}\right) = \ldots = u\left(\overline{2013}\right) = 7.</math>Cum <math>u\left(7^{4x+1}\right)=7</math> și <math>u\left(7^{4x+3}\right)=3</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>, avem <math>101</math> pentru care au loc egalitățile<math display="block">u\left(\overline{7}\right) = u\left(\overline{27}\right) = u\left(\overline{47}\right) = \ldots = u\left(\overline{2007}\right) = 7</math>și <math>101</math> pentru care au loc egalitățile<math display="block">u\left(\overline{17}\right) = u\left(\overline{37}\right) = u\left(\overline{57}\right) = \ldots = u\left(\overline{2017}\right) = 3.</math>În concluzie, se obține<math display="block">u\left(a\right) = u\left( 202\cdot 1 + 101 \cdot \left(3+7\right) + 202\cdot 5 + 101\cdot \left(7+3\right)+202\cdot 9\right) = 0,</math>ceea ce implcă faptul că numărul <math>a</math> este divizibil cu <math>10</math>.

Andrei.Horvat at 19:12, 14 July 2025

2025-07-14T19:12:33Z

← Older revision		Revision as of 19:12, 14 July 2025
Line 8:		Line 8:
	Notăm cu <math>u\left(n\right)</math> ultima cifră a numărului natural <math>n</math>, iar prin <math>\overline{n}</math> notăm numărul <math>n^{{n+2}^{{n+4}^{\ldots 2019}}}</math>. Cu această notație, avem<math display="block">a=\overline{1}+\overline{3}+\overline{5}+\ldots+\overline{2019}</math>este o sumă cu 1010 tremeni.		Notăm cu <math>u\left(n\right)</math> ultima cifră a numărului natural <math>n</math>, iar prin <math>\overline{n}</math> notăm numărul <math>n^{{n+2}^{{n+4}^{\ldots 2019}}}</math>. Cu această notație, avem<math display="block">a=\overline{1}+\overline{3}+\overline{5}+\ldots+\overline{2019}</math>este o sumă cu 1010 tremeni.

	Dacă <math>u\left(n\right) = 1</math>, atunci <math>u\left(n^x\right) = 1</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>. Deci<math display="block">u\left(\overline{1}\right) = u\left(\overline{11}\right) = u\left(\overline{21}\right) = \ldots = u\left(\overline{2011}\right) = 1</math>Dacă <math>u\left(n\right) = 5</math>, atunci <math>u\left(n^x\right) = 5</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>. Deci<math display="block">u\left(\overline{5}\right) = u\left(\overline{15}\right) = u\left(\overline{25}\right) = \ldots = u\left(\overline{2015}\right) = 5</math>Cum <math>u\left(9^{2x+1}\right) = 9</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>, avem că<math display="block">u\left(\overline{9}\right) = u\left(\overline{19}\right) = u\left(\overline{29}\right) = \ldots = u\left(\overline{2019}\right) = 9</math>		Dacă <math>u\left(n\right) = 1</math>, atunci <math>u\left(n^x\right) = 1</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>. Deci<math display="block">u\left(\overline{1}\right) = u\left(\overline{11}\right) = u\left(\overline{21}\right) = \ldots = u\left(\overline{2011}\right) = 1,</math>sunt <math>202</math> astfel de numere.

			Dacă <math>u\left(n\right) = 5</math>, atunci <math>u\left(n^x\right) = 5</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>. Deci<math display="block">u\left(\overline{5}\right) = u\left(\overline{15}\right) = u\left(\overline{25}\right) = \ldots = u\left(\overline{2015}\right) = 5,</math>sunt <math>202</math> astfel de numere.

			Cum <math>u\left(9^{2x+1}\right) = 9</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>, avem că<math display="block">u\left(\overline{9}\right) = u\left(\overline{19}\right) = u\left(\overline{29}\right) = \ldots = u\left(\overline{2019}\right) = 9,</math>sunt <math>202</math> astfel de numere.

			Cum <math>u\left(3^{4x+1}\right)=3</math> și <math>u\left(3^{4x+3}\right)=7</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>, avem <math>101</math> pentru care au loc egalitățile<math display="block">u\left(\overline{3}\right) = u\left(\overline{23}\right) = u\left(\overline{43}\right) = \ldots = u\left(\overline{2003}\right) = 3</math>și <math>101</math> pentru care au loc egalitățile<math display="block">u\left(\overline{13}\right) = u\left(\overline{33}\right) = u\left(\overline{53}\right) = \ldots = u\left(\overline{2013}\right) = 7.</math>Cum <math>u\left(7^{4x+1}\right)=7</math> și <math>u\left(7^{4x+3}\right)=3</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>, avem <math>101</math> pentru care au loc egalitățile<math display="block">u\left(\overline{7}\right) = u\left(\overline{27}\right) = u\left(\overline{47}\right) = \ldots = u\left(\overline{2007}\right) = 7</math>și <math>101</math> pentru care au loc egalitățile<math display="block">u\left(\overline{17}\right) = u\left(\overline{37}\right) = u\left(\overline{57}\right) = \ldots = u\left(\overline{2017}\right) = 3.</math>

Andrei.Horvat at 19:04, 14 July 2025

2025-07-14T19:04:19Z

← Older revision		Revision as of 19:04, 14 July 2025
Line 6:		Line 6:
	'''Soluție.'''		'''Soluție.'''

	Notăm cu <math>u\left(n\right)</math> ultima cifră a numărului natural <math>n</math>, iar prin <math>\~~tilde~~{n}</math> ~~nătăm~~ numărul		Notăm cu <math>u\left(n\right)</math> ultima cifră a numărului natural <math>n</math>, iar prin <math>\overline{n}</math> notăm numărul <math>n^{{n+2}^{{n+4}^{\ldots 2019}}}</math>. Cu această notație, avem<math display="block">a=\overline{1}+\overline{3}+\overline{5}+\ldots+\overline{2019}</math>este o sumă cu 1010 tremeni.

			Dacă <math>u\left(n\right) = 1</math>, atunci <math>u\left(n^x\right) = 1</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>. Deci<math display="block">u\left(\overline{1}\right) = u\left(\overline{11}\right) = u\left(\overline{21}\right) = \ldots = u\left(\overline{2011}\right) = 1</math>Dacă <math>u\left(n\right) = 5</math>, atunci <math>u\left(n^x\right) = 5</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>. Deci<math display="block">u\left(\overline{5}\right) = u\left(\overline{15}\right) = u\left(\overline{25}\right) = \ldots = u\left(\overline{2015}\right) = 5</math>Cum <math>u\left(9^{2x+1}\right) = 9</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{N}</math>, avem că<math display="block">u\left(\overline{9}\right) = u\left(\overline{19}\right) = u\left(\overline{29}\right) = \ldots = u\left(\overline{2019}\right) = 9</math>

Andrei.Horvat: Created page with "'''S:E18.122 (Florin Bojor)''' ''Verificați dacă numărul $a={1^{{{3}^{{{5}^{{{\cdots}^{2019}}}}}}}}+{3^{{{5}^{{{7}^{{{\cdots}^{2019}}}}}}}}+{5^{{{7}^{{{9}^{{{\cdots}^{2019}}}}}}}}+\ldots +{2017^{2019}}+2019$ este divizibil cu $10$ . '''Soluție.''' Notăm cu $u\left(n\right)$ ultima cifră a numărului natural $n$ , iar prin $\tilde{n}$ nătăm numărul"

2025-07-14T18:51:46Z

Created page with "'''S:E18.122 (Florin Bojor)''' ''Verificați dacă numărul <math>a={1^{{{3}^{{{5}^{{{\cdots}^{2019}}}}}}}}+{3^{{{5}^{{{7}^{{{\cdots}^{2019}}}}}}}}+{5^{{{7}^{{{9}^{{{\cdots}^{2019}}}}}}}}+\ldots +{2017^{2019}}+2019</math> este divizibil cu <math>10</math>. '''Soluție.''' Notăm cu <math>u\left(n\right)</math> ultima cifră a numărului natural <math>n</math>, iar prin <math>\tilde{n}</math> nătăm numărul"

New page

'''S:E18.122 (Florin Bojor)'''

''Verificați dacă numărul <math>a={1^{{{3}^{{{5}^{{{\cdots}^{2019}}}}}}}}+{3^{{{5}^{{{7}^{{{\cdots}^{2019}}}}}}}}+{5^{{{7}^{{{9}^{{{\cdots}^{2019}}}}}}}}+\ldots +{2017^{2019}}+2019</math>
este divizibil cu <math>10</math>.

'''Soluție.'''

Notăm cu <math>u\left(n\right)</math> ultima cifră a numărului natural <math>n</math>, iar prin <math>\tilde{n}</math> nătăm numărul