S:E15.208-sol2 - Revision history

Andrei.Horvat: Created page with "'''S:E15.208 (Angela Lopată)''' ''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma $2015$ .'' '''Soluția 2.''' Fie $N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}$ numărul de termeni ai sumei. Cum suma a $4n$ numere consecutive este un număr par, iar $2015$ este număr impar, deducem că $4 \nmid N$ . Pentru $N=4n+2$ , cu $n\in\mathbb{N}$ , suma se poate scrie
2025-08-19T16:20:16Z

Created page with "'''S:E15.208 (Angela Lopată)''' ''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma <math>2015</math>.'' '''Soluția 2.''' Fie <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numărul de termeni ai sumei. Cum suma a <math>4n</math> numere consecutive este un număr par, iar <math>2015</math> este număr impar, deducem că <math>4 \nmid N</math>. Pentru <math>N=4n+2</math>, cu <math>n\in\mathbb{N}</math>, suma se poate scrie <math display="block"..."

New page
'''S:E15.208 (Angela Lopată)'''

''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma <math>2015</math>.''

'''Soluția 2.'''

Fie <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numărul de termeni ai sumei.

Cum suma a <math>4n</math> numere consecutive este un număr par, iar <math>2015</math> este număr impar, deducem că <math>4 \nmid N</math>.

Pentru <math>N=4n+2</math>, cu <math>n\in\mathbb{N}</math>, suma se poate scrie
<math display="block">\left(b-2n\right)+\left(b-2n+1\right)+\ldots+\left(b-1\right) + b + \left(b+1\right)+\left(b+1\right)+\ldots+\left(b+2n\right) + \left(a+2n+1\right)=2015,</math>unde <math>b\in \mathbb{N}</math>, cu <math>b\ge 2n</math>. Se obține<math display="block">\left(2n+1\right)\left(2b+1\right)=1\cdot 5 \cdot 13 \cdot 31.</math>

Pentru <math>2n+1=1</math> se obține <math>b=1007</math> și suma<math display="block">
1007+1008=2015.
</math>Pentru <math>2n+1=5</math> se obține <math>b=201</math> și suma <math display="block">
197+198+\ldots+206=2015.
</math>Pentru <math>2n+1=13</math> se obține <math>b=77</math> și suma <math display="block">
65+66+\ldots+67=2015.
</math>Pentru <math>2n+1=31</math> se obține <math>b=32</math> și suma <math display="block">
2+3+\ldots+63=2015.
</math>Celelalte situații posibile nu satisfac condiția <math>b\ge 2n</math>.

Pentru <math>N=2n+1</math>, cu <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math>, suma se poate scrie
<math display="block">\left(b-n\right)+\left(b-n+1\right)+\ldots+\left(b-1\right)+b+\left(b+1\right)+\left(b+2\right)+\ldots+\left(b+n\right)=2015,</math>unde <math>b\in \mathbb{N}</math>, cu <math>b\ge n</math>.

Se obține <math display="block">\left(2n+1\right)\cdot b = 5 \cdot 13\cdot 31.</math>

Pentru <math>2n+1=5</math> se obține <math>b=403</math> și suma <math display="block">
401+402+403+404+405=2015.
</math>Pentru <math>2n+1=13</math> se obține <math>b=155</math> și suma <math display="block">
149+150+\ldots+161=2015.
</math>Pentru <math>2n+1=31</math> se obține <math>b=65</math> și suma <math display="block">
50+51+\ldots+80=2015.
</math>Celelalte situații posibile nu satisfac condiția <math>b\ge n</math>.