S:E15.208 - Revision history

Andrei.Horvat at 17:10, 20 August 2025

2025-08-20T17:10:53Z

← Older revision		Revision as of 17:10, 20 August 2025
Line 3:		Line 3:
	''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma <math>2015</math>.''		''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma <math>2015</math>.''

	'''Soluția 1.'''		'''Soluția 1.''' (aici poate fi consultată o altă soluție '''[[S:E15.208-sol2]])'''

	Fie <math>a\in \mathbb{N}</math> și <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numere naturale pentru care <math display="block">\left(a+1\right) + \left(a+2\right)+\ldots+\left(a+N\right)=2015.</math>		Fie <math>a\in \mathbb{N}</math> și <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numere naturale pentru care <math display="block">\left(a+1\right) + \left(a+2\right)+\ldots+\left(a+N\right)=2015.</math>

Andrei.Horvat at 16:19, 19 August 2025

2025-08-19T16:19:44Z

← Older revision		Revision as of 16:19, 19 August 2025
Line 48:		Line 48:
	2+3+\ldots+63=2015.		2+3+\ldots+63=2015.
	</math>		</math>

			Aici poate fi consultată o altă soluție [[S:E15.208-sol2]]

Andrei.Horvat at 16:17, 19 August 2025

2025-08-19T16:17:13Z

@@ Line 3: / Line 3: @@
 ''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma <math>2015</math>.''
-'''Soluția 1'''
+'''Soluția 1.'''
 Fie <math>a\in \mathbb{N}</math> și <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numere naturale pentru care <math display="block">\left(a+1\right) + \left(a+2\right)+\ldots+\left(a+N\right)=2015.</math>
 În mod echivalent, se obține 	<math display="block">Na+\left(1+2+\ldots+N\right)=2015,</math> deci
@@ Line 9: / Line 10: @@
 N\cdot\left(2a+1+N\right) = 2\cdot2015.
 </math>

Andrei.Horvat at 16:16, 19 August 2025

2025-08-19T16:16:26Z

← Older revision		Revision as of 16:16, 19 August 2025
Line 3:		Line 3:
	''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma <math>2015</math>.''		''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma <math>2015</math>.''

	'''~~Soluție~~'''		'''Soluția 1'''
			Fie <math>a\in \mathbb{N}</math> și <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numere naturale pentru care <math display="block">\left(a+1\right) + \left(a+2\right)+\ldots+\left(a+N\right)=2015.</math>
			În mod echivalent, se obține <math display="block">Na+\left(1+2+\ldots+N\right)=2015,</math> deci
			<math display="block">
			N\cdot\left(2a+1+N\right) = 2\cdot2015.
			</math>

Andrei.Horvat: Replaced content with "'''S:E15.208 (Angela Lopată)''' ''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma $2015$ .'' '''Soluție'''"

2025-08-19T16:14:49Z

Replaced content with "'''S:E15.208 (Angela Lopată)''' ''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma <math>2015</math>.'' '''Soluție'''"

← Older revision		Revision as of 16:14, 19 August 2025
Line 3:		Line 3:
	''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma <math>2015</math>.''		''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma <math>2015</math>.''

	'''~~Soluția 1~~'''		'''Soluție'''
	Fie <math>a\in \mathbb{N}</math> și <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numere naturale pentru care <math display="block">\left(a+1\right) + \left(a+2\right)+\ldots+\left(a+N\right)=2015.</math>
	~~În mod echivalent, se obține <math display="block">Na+\left(1+2+\ldots+N\right)=2015,</math> deci~~
	~~<math display="block">~~
	~~N\cdot\left(2a+1+N\right) = 2\cdot2015.~~
	~~</math>~~
	~~Din <math>a\ge 0</math>, avem <math>N\left(N+1\right)\le N\left(2a+1+N\right) = 2024</math>. Cum <math>63\cdot 64 \le 4030 \le 64\cdot 65</math>, se deduce că <math>N\le 63</math>.~~

	~~Din <math>N \| 4030</math> și <math>N\le 63</math> rezultă <math>N\in \left\{2,5,10,13,26,31, 62 \right\}</math>.~~

	~~Pentru <math>N=2</math> se obține <math>2a+3 = 2015</math>, cu <math>a =1006</math>. Deci avem suma de două numere consecutive~~
	~~<math display="block">~~
	~~1007+1008=2015.~~
	~~</math>~~

	~~Pentru <math>N=5</math> se obține <math>2a+6 = 806</math>, cu <math>a = 400</math>. Deci avem suma de <math>5</math> numere consecutive~~
	~~<math display="block">~~
	~~401+402+403+404+405=2015.~~
	~~</math>~~

	~~Pentru <math>N=10</math> se obține <math>2a+11 = 403</math>, cu <math>a = 196</math>. Deci avem suma de <math>10</math> numere consecutive~~
	~~<math display="block">~~
	~~197+198+\ldots+206=2015.~~
	~~</math>~~

	~~Pentru <math>N=13</math> se obține <math>2a+14 = 310</math>, cu <math>a = 148</math>. Deci avem suma cu <math>13</math> termeni, numere consecutive~~
	~~<math display="block">~~
	~~149+150+\ldots+161=2015.~~
	~~</math>~~

	~~Pentru <math>N=26</math> se obține <math>2a+27 = 155</math>, cu <math>a = 64</math>. Deci avem suma de <math>26</math> de numere consecutive~~
	~~<math display="block">~~
	~~65+66+\ldots+67=2015.~~
	~~</math>~~

	~~Pentru <math>N=31</math> se obține <math>2a+32 = 130</math>, cu <math>a = 49</math>. Deci avem suma de <math>31</math> de numere consecutive~~
	~~<math display="block">~~
	~~50+51+\ldots+80=2015.~~
	~~</math>~~

	~~Pentru <math>N=62</math> se obține <math>2a+63 = 65</math>, cu <math>a = 1</math>. Deci avem suma de <math>62 </math> de numere consecutive~~
	~~<math display="block">~~
	~~2+3+\ldots+63=2015.~~
	~~</math>~~

	~~'''Soluția 2'''~~

	~~Fie <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numărul de termeni ai sumei.~~

	~~Cum suma a <math>4n</math> numere consecutive este un număr par, iar <math>2015</math> este număr impar, deducem că <math>4 \nmid N</math>.~~

	~~Pentru <math>N=4n+2</math>, cu <math>n\in\mathbb{N}</math>, suma se poate scrie~~
	<math display="block">\left(b-2n\right)+\left(b-2n+1\right)+\ldots+\left(b-1\right) + b + \left(b+1\right)+\left(b+1\right)+\ldots+\left(b+2n\right) + \left(a+2n+1\right)=2015,</math>unde <math>b\in \mathbb{N}</math>, cu <math>b\ge 2n</math>. Se obține<math display="block">\left(2n+1\right)\left(2b+1\right)=1\cdot 5 \cdot 13 \cdot 31.</math>

	~~Pentru <math>2n+1=1</math> se obține <math>b=1007</math> și suma<math display="block">~~
	~~1007+1008=2015.~~
	~~</math>Pentru <math>2n+1=5</math> se obține <math>b=201</math> și suma <math display="block">~~
	~~197+198+\ldots+206=2015.~~
	~~</math>Pentru <math>2n+1=13</math> se obține <math>b=77</math> și suma <math display="block">~~
	~~65+66+\ldots+67=2015.~~
	~~</math>Pentru <math>2n+1=31</math> se obține <math>b=32</math> și suma <math display="block">~~
	~~2+3+\ldots+63=2015.~~
	~~</math>Celelalte situații posibile nu satisfac condiția <math>b\ge 2n</math>.~~


	~~Pentru <math>N=2n+1</math>, cu <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math>, suma se poate scrie~~
	<math display="block">\left(b-n\right)+\left(b-n+1\right)+\ldots+\left(b-1\right)+b+\left(b+1\right)+\left(b+2\right)+\ldots+\left(b+n\right)=2015,</math>unde <math>b\in \mathbb{N}</math>, cu <math>b\ge n</math>.

	~~Se obține <math display="block">\left(2n+1\right)\cdot b = 5 \cdot 13\cdot 31.</math>~~

	~~Pentru <math>2n+1=5</math> se obține <math>b=403</math> și suma <math display="block">~~
	~~401+402+403+404+405=2015.~~
	~~</math>Pentru <math>2n+1=13</math> se obține <math>b=155</math> și suma <math display="block">~~
	~~149+150+\ldots+161=2015.~~
	~~</math>Pentru <math>2n+1=31</math> se obține <math>b=65</math> și suma <math display="block">~~
	~~50+51+\ldots+80=2015.~~
	~~</math>Celelalte situații posibile nu satisfac condiția <math>b\ge n</math>.~~

Andrei.Horvat at 09:59, 9 January 2024

2024-01-09T09:59:21Z

← Older revision		Revision as of 09:59, 9 January 2024
Line 55:		Line 55:

	Pentru <math>N=4n+2</math>, cu <math>n\in\mathbb{N}</math>, suma se poate scrie		Pentru <math>N=4n+2</math>, cu <math>n\in\mathbb{N}</math>, suma se poate scrie
	<math>\left(b-2n\right)+\left(b-2n+1\right)+\ldots+\left(b-1\right) + b + \left(b+1\right)+\left(b+1\right)+\ldots+\left(b+2n\right) + \left(a+2n+1\right)=2015,</math> unde <math>b\in \mathbb{N}</math>, cu <math>b\ge 2n</math>. Se obține		<math display="block">\left(b-2n\right)+\left(b-2n+1\right)+\ldots+\left(b-1\right) + b + \left(b+1\right)+\left(b+1\right)+\ldots+\left(b+2n\right) + \left(a+2n+1\right)=2015,</math>unde <math>b\in \mathbb{N}</math>, cu <math>b\ge 2n</math>. Se obține<math display="block">\left(2n+1\right)\left(2b+1\right)=1\cdot 5 \cdot 13 \cdot 31.</math>
	<math>\left(2n+1\right)\left(2b+1\right)=1\cdot 5 \cdot 13 \cdot 31.</math>

	Pentru <math>2n+1=1</math> se obține <math>b=1007</math> și suma <math display="block">		Pentru <math>2n+1=1</math> se obține <math>b=1007</math> și suma<math display="block">
	1007+1008=2015.		1007+1008=2015.
	</math>Pentru <math>2n+1=5</math> se obține <math>b=201</math> și suma \~~eqref{eq4cls6}~~.		</math>Pentru <math>2n+1=5</math> se obține <math>b=201</math> și suma <math display="block">
			197+198+\ldots+206=2015.
			</math>Pentru <math>2n+1=13</math> se obține <math>b=77</math> și suma <math display="block">
			65+66+\ldots+67=2015.
			</math>Pentru <math>2n+1=31</math> se obține <math>b=32</math> și suma <math display="block">
			2+3+\ldots+63=2015.
			</math>Celelalte situații posibile nu satisfac condiția <math>b\ge 2n</math>.

	~~Pentru <math>2n+1=13</math> se obține <math>b=77</math> și suma \eqref{eq6cls6}.~~

	~~Pentru <math>2n+1=31</math> se obține <math>b=32</math> și suma \eqref{eq7cls6}.~~

	~~Celelalte situații posibile nu satisfac condiția <math>b\ge 2n</math>.~~

	Pentru <math>N=2n+1</math>, cu <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math>, suma se poate scrie		Pentru <math>N=2n+1</math>, cu <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math>, suma se poate scrie
	<math>\left(b-n\right)+\left(b-n+1\right)+\ldots+\left(b-1\right)+b+\left(b+1\right)+\left(b+2\right)+\ldots+\left(b+n\right)=2015,</math> unde <math>b\in \mathbb{N}</math>, cu <math>b\ge n</math>.		<math display="block">\left(b-n\right)+\left(b-n+1\right)+\ldots+\left(b-1\right)+b+\left(b+1\right)+\left(b+2\right)+\ldots+\left(b+n\right)=2015,</math>unde <math>b\in \mathbb{N}</math>, cu <math>b\ge n</math>.

	~~Se obține <math>\left(2n+1\right)\cdot b = 5 \cdot 13\cdot 31.</math>~~

	~~Pentru <math>2n+1=5</math> se obține <math>b=403</math> și suma \eqref{eq3cls6}.~~

	~~Pentru <math>2n+1=13</math> se obține <math>b=155</math> și suma \eqref{eq5cls6}~~.

	~~Pentru~~ <math>2n+1=31</math> ~~se obține <math>b=65</math> și suma \eqref{eq8cls6}.~~		Se obține <math display="block">\left(2n+1\right)\cdot b = 5 \cdot 13\cdot 31.</math>

	Celelalte situații posibile nu satisfac condiția <math>b\ge n</math>.		Pentru <math>2n+1=5</math> se obține <math>b=403</math> și suma <math display="block">
			401+402+403+404+405=2015.
			</math>Pentru <math>2n+1=13</math> se obține <math>b=155</math> și suma <math display="block">
			149+150+\ldots+161=2015.
			</math>Pentru <math>2n+1=31</math> se obține <math>b=65</math> și suma <math display="block">
			50+51+\ldots+80=2015.
			</math>Celelalte situații posibile nu satisfac condiția <math>b\ge n</math>.

Andrei.Horvat at 09:46, 9 January 2024

2024-01-09T09:46:53Z

← Older revision		Revision as of 09:46, 9 January 2024
Line 55:		Line 55:

	Pentru <math>N=4n+2</math>, cu <math>n\in\mathbb{N}</math>, suma se poate scrie		Pentru <math>N=4n+2</math>, cu <math>n\in\mathbb{N}</math>, suma se poate scrie
	<math\left(b-2n\right)+\left(b-2n+1\right)+\ldots+\left(b-1\right) + b + \left(b+1\right)+\left(b+1\right)+\ldots+\left(b+2n\right) + \left(a+2n+1\right)=2015,</math> unde <math>b\in \mathbb{N}</math>, cu <math>b\ge 2n</math>. Se obține		<math>\left(b-2n\right)+\left(b-2n+1\right)+\ldots+\left(b-1\right) + b + \left(b+1\right)+\left(b+1\right)+\ldots+\left(b+2n\right) + \left(a+2n+1\right)=2015,</math> unde <math>b\in \mathbb{N}</math>, cu <math>b\ge 2n</math>. Se obține
	<math>\left(2n+1\right)\left(2b+1\right)=1\cdot 5 \cdot 13 \cdot 31.</math>		<math>\left(2n+1\right)\left(2b+1\right)=1\cdot 5 \cdot 13 \cdot 31.</math>

Line 66:		Line 66:
	Pentru <math>2n+1=31</math> se obține <math>b=32</math> și suma \eqref{eq7cls6}.		Pentru <math>2n+1=31</math> se obține <math>b=32</math> și suma \eqref{eq7cls6}.

	Celelalte situații posibile nu satisfac condiția <math>b\ge 2n<math>.		Celelalte situații posibile nu satisfac condiția <math>b\ge 2n</math>.

	Pentru <math>N=2n+1</math>, cu <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math>, suma se poate scrie		Pentru <math>N=2n+1</math>, cu <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math>, suma se poate scrie

Andrei.Horvat at 09:41, 9 January 2024

2024-01-09T09:41:40Z

← Older revision		Revision as of 09:41, 9 January 2024
Line 58:		Line 58:
	<math>\left(2n+1\right)\left(2b+1\right)=1\cdot 5 \cdot 13 \cdot 31.</math>		<math>\left(2n+1\right)\left(2b+1\right)=1\cdot 5 \cdot 13 \cdot 31.</math>

	Pentru <math>2n+1=1</math> se obține <math>b=1007</math> și suma ~~\eqref{eq2cls6}~~		Pentru <math>2n+1=1</math> se obține <math>b=1007</math> și suma <math display="block">
			1007+1008=2015.
	Pentru <math>2n+1=5</math> se obține <math>b=201</math> și suma \eqref{eq4cls6}.		</math>Pentru <math>2n+1=5</math> se obține <math>b=201</math> și suma \eqref{eq4cls6}.

	Pentru <math>2n+1=13</math> se obține <math>b=77</math> și suma \eqref{eq6cls6}.		Pentru <math>2n+1=13</math> se obține <math>b=77</math> și suma \eqref{eq6cls6}.

Andrei.Horvat at 09:39, 9 January 2024

2024-01-09T09:39:19Z

← Older revision		Revision as of 09:39, 9 January 2024
Line 49:		Line 49:

	'''Soluția 2'''		'''Soluția 2'''

			Fie <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numărul de termeni ai sumei.

			Cum suma a <math>4n</math> numere consecutive este un număr par, iar <math>2015</math> este număr impar, deducem că <math>4 \nmid N</math>.

			Pentru <math>N=4n+2</math>, cu <math>n\in\mathbb{N}</math>, suma se poate scrie
			<math\left(b-2n\right)+\left(b-2n+1\right)+\ldots+\left(b-1\right) + b + \left(b+1\right)+\left(b+1\right)+\ldots+\left(b+2n\right) + \left(a+2n+1\right)=2015,</math> unde <math>b\in \mathbb{N}</math>, cu <math>b\ge 2n</math>. Se obține
			<math>\left(2n+1\right)\left(2b+1\right)=1\cdot 5 \cdot 13 \cdot 31.</math>

			Pentru <math>2n+1=1</math> se obține <math>b=1007</math> și suma \eqref{eq2cls6}

			Pentru <math>2n+1=5</math> se obține <math>b=201</math> și suma \eqref{eq4cls6}.

			Pentru <math>2n+1=13</math> se obține <math>b=77</math> și suma \eqref{eq6cls6}.

			Pentru <math>2n+1=31</math> se obține <math>b=32</math> și suma \eqref{eq7cls6}.

			Celelalte situații posibile nu satisfac condiția <math>b\ge 2n<math>.

			Pentru <math>N=2n+1</math>, cu <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math>, suma se poate scrie
			<math>\left(b-n\right)+\left(b-n+1\right)+\ldots+\left(b-1\right)+b+\left(b+1\right)+\left(b+2\right)+\ldots+\left(b+n\right)=2015,</math> unde <math>b\in \mathbb{N}</math>, cu <math>b\ge n</math>.

			Se obține <math>\left(2n+1\right)\cdot b = 5 \cdot 13\cdot 31.</math>

			Pentru <math>2n+1=5</math> se obține <math>b=403</math> și suma \eqref{eq3cls6}.

			Pentru <math>2n+1=13</math> se obține <math>b=155</math> și suma \eqref{eq5cls6}.

			Pentru <math>2n+1=31</math> se obține <math>b=65</math> și suma \eqref{eq8cls6}.

			Celelalte situații posibile nu satisfac condiția <math>b\ge n</math>.

Andrei.Horvat at 07:47, 9 January 2024

2024-01-09T07:47:25Z

← Older revision		Revision as of 07:47, 9 January 2024
Line 35:		Line 35:
	Pentru <math>N=26</math> se obține <math>2a+27 = 155</math>, cu <math>a = 64</math>. Deci avem suma de <math>26</math> de numere consecutive		Pentru <math>N=26</math> se obține <math>2a+27 = 155</math>, cu <math>a = 64</math>. Deci avem suma de <math>26</math> de numere consecutive
	<math display="block">		<math display="block">
	~~\label{eq6cls6}~~
	65+66+\ldots+67=2015.		65+66+\ldots+67=2015.
	</math>		</math>