Andrei.Horvat: Created page with "'''P:1799 (Nicolae Mușuroia)''' ''La un test Ana rezolvă $5$ probleme și $3$ exerciții și obține $75$ de puncte. La același test, Dan a obținut $75$ de puncte pentru rezolvarea a $4$ probleme și $5$ exerciții. Se știe că punctajul maxim care poate fi obținut este $100$ de puncte, dintre care $10$ puncte sunt acordate din oficiu. Aflați câte puncte valorează o prob..."

2025-09-16T03:35:21Z

Created page with "'''P:1799 (Nicolae Mușuroia)''' ''La un test Ana rezolvă <math>5</math> probleme și <math>3</math> exerciții și obține <math>75</math> de puncte. La același test, Dan a obținut <math>75</math> de puncte pentru rezolvarea a <math>4</math> probleme și <math>5</math> exerciții. Se știe că punctajul maxim care poate fi obținut este <math>100</math> de puncte, dintre care <math>10</math> puncte sunt acordate din oficiu. Aflați câte puncte valorează o prob..."

New page

'''[[P:1799]] (Nicolae Mușuroia)'''

''La un test Ana rezolvă <math>5</math> probleme și <math>3</math> exerciții și obține <math>75</math> de puncte. La același test, Dan a obținut <math>75</math> de puncte pentru rezolvarea a <math>4</math> probleme și <math>5</math> exerciții. Se știe că punctajul maxim care poate fi obținut este <math>100</math> de puncte, dintre care <math>10</math> puncte sunt acordate din oficiu. Aflați câte puncte valorează o problemă și câte puncte valorează un exercițiu.''

'''Soluție'''

'''Metoda I.''' Rezolvarea aritmetică prin metoda comparației. Datele problemei pot fi sintetizate astfel:<math display="block">5 \text{ probleme} \ldots \ldots 3 \text{ exerciții} \ldots \ldots 65 \text{ puncte}</math><math display="block">4 \text{ probleme} \ldots \ldots 5 \text{ exerciții} \ldots \ldots 65 \text{ puncte}</math>Pentru a fi posibilă comparația, considerăm setul Anei de patru ori, iar setul lui Dan de cinci ori, astfel avem situația <math display="block">20 \text{ probleme} \ldots \ldots 12 \text{ exerciții} \ldots \ldots 260 \text{ puncte}</math><math display="block">20 \text{ probleme} \ldots \ldots 25 \text{ exerciții} \ldots \ldots 325 \text{ puncte}</math>Acum cele două seturi se diferențiază prin cele <math>25-12=13</math> exerciții care valorează <math>325-260=65</math> puncte.

1. Câte puncte valorează un exercițiu?<math display="block">65 : 13 = 5 \text{ (puncte)}</math>

2. Câte puncte valorează o problemă?<math display="block">\left(65 - 3\times 5\right): 5 = 10 \text{ (puncte)}</math>

'''Metoda a II-a.''' Rezolvarea prin metoda aritmetică. Dacă notăm cu <math>x</math> numărul de puncte cu care se punctează o problemă, iar cu <math>y</math> numărul de puncte cu care se punctează un exercițiu, atunci se obține sistemul
<math display="block">\begin{cases}5x+3y=65\\ 4x+5y=65 \end{cases}</math> care admite soluția <math display="block">\begin{cases}x=10\\ y=5 \end{cases}</math>

'''Răspuns:''' o problemă valorează <math>10</math> puncte, un exercițiu valorează <math>5</math> puncte.

P:1799 - Revision history