Gazeta matematică 2022 - Revision history

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 9/2022 */

2025-01-05T09:31:25Z

Gazeta Matematică 9/2022

← Older revision		Revision as of 09:31, 5 January 2025
Line 87:		Line 87:
	''' [[28405]] (Dana Heuberger)'''		''' [[28405]] (Dana Heuberger)'''

	''Fie triunghiul este echilateral.''		''Fie triunghiul <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>r</math>. Notăm cu <math>D</math>, <math>E</math> și <math>F</math> mijloacele arcelor mici <math>BC</math>, <math>CA</math>, respectiv <math>AB</math> ale cercului, și cu <math>M</math>, <math>N</math>, <math>P</math> punctele de intersecție ale dreptelor <math>AF</math> și <math>CE</math>, <math>AF</math> și <math>BD</math>, respectiv <math>BD</math> și <math>CE</math>. Dacă
			<math>
			\vec{MA} + \vec{NB} + \vec{PC} = \vec{0}
			</math>
			și
			<math>
			\vec{ME} + \vec{NF} + \vec{PD} = \vec{0},
			</math>
			arătați că triunghiul <math>ABC</math> este echilateral.''

	== Gazeta Matematică 10/2022 ==		== Gazeta Matematică 10/2022 ==

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 10/2022 */

2025-01-05T08:48:15Z

Gazeta Matematică 10/2022

← Older revision		Revision as of 08:48, 5 January 2025
Line 82:		Line 82:
	<ol type="a"><li> punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.</li>		<ol type="a"><li> punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.</li>
	<li> <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.</li></ol>''		<li> <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.</li></ol>''

			== Gazeta Matematică 9/2022 ==

			''' [[28405]] (Dana Heuberger)'''

			''Fie triunghiul este echilateral.''

	== Gazeta Matematică 10/2022 ==		== Gazeta Matematică 10/2022 ==

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 2/2022 */

2025-01-03T11:18:40Z

Gazeta Matematică 2/2022

← Older revision		Revision as of 11:18, 3 January 2025
Line 37:		Line 37:

	''Fie triunghiul echilateral <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>1</math>. Considerăm mulțimea <math>\mathcal{M}</math> a punctelor <math>X</math> din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX} = k \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>, unde <math>k, m, n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M, N, P \in \mathcal{M} </math> există <math>Q\in\mathcal{M}</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math> și <math>\overrightarrow{NM}+</math> <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.''		''Fie triunghiul echilateral <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>1</math>. Considerăm mulțimea <math>\mathcal{M}</math> a punctelor <math>X</math> din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX} = k \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>, unde <math>k, m, n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M, N, P \in \mathcal{M} </math> există <math>Q\in\mathcal{M}</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math> și <math>\overrightarrow{NM}+</math> <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.''

			=== Supliment ===

	'''[[S:L22.58]] (Vasile Giurgi)'''		'''[[S:L22.58]] (Vasile Giurgi)'''

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 10/2022 */

2024-12-16T10:24:03Z

Gazeta Matematică 10/2022

← Older revision		Revision as of 10:24, 16 December 2024
Line 95:		Line 95:
	''Afișați numerele întregi pozitive <math>\overline{abcd}</math> cu proprietatea '' <math>a^7 + a^b + a^c + a^d = \overline{a000}.</math>		''Afișați numerele întregi pozitive <math>\overline{abcd}</math> cu proprietatea '' <math>a^7 + a^b + a^c + a^d = \overline{a000}.</math>

	'''[[~~16402~~\|E:~~16402~~]] (Cristina Vijdeluc~~, Salonic~~ și Mihai Vijdeluc~~, Baia Mare~~)'''		'''[[16393\|E:16393]] (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

	''~~Fie~~ <math>n ~~\in \mathbb{N}^*</math> și numerele pozitive <math>x_1, x_2, \dots, x_n~~</math> care ~~verifică relația~~		''Determinați numerele naturale nenule <math>n</math> pentru care numărul <math>a(n) = \sqrt{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n)^5 + 145}</math> este natural.''

	<math>\~~frac~~{1~~}{x_1} +~~ \~~frac{1}{x_2} +~~ \~~dots +~~ \~~frac{1}{x_n} = \frac{n}{~~n+1}.</math>

	~~Arătați că~~		'''[[16402\|E:16402]] (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

	<math>\frac{1}{x_1 + 2} + \frac{1}{x_2 + 6} + \dots + \frac{1}{x_n + n(n+1)} \leq \frac{n}{2(n+1)}.</math>''		''Fie <math>n \in \mathbb{N}^*</math> și numerele pozitive <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> care verifică relația <math>\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} = \frac{n}{n+1}.</math>

			Arătați că <math>\frac{1}{x_1 + 2} + \frac{1}{x_2 + 6} + \dots + \frac{1}{x_n + n(n+1)} \leq \frac{n}{2(n+1)}.</math>''

	'''[[28437]] (Nicolae Mușuroaia)'''		'''[[28437]] (Nicolae Mușuroaia)'''

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 10/2022 */

2024-12-16T10:21:47Z

Gazeta Matematică 10/2022

← Older revision		Revision as of 10:21, 16 December 2024
Line 94:		Line 94:

	''Afișați numerele întregi pozitive <math>\overline{abcd}</math> cu proprietatea '' <math>a^7 + a^b + a^c + a^d = \overline{a000}.</math>		''Afișați numerele întregi pozitive <math>\overline{abcd}</math> cu proprietatea '' <math>a^7 + a^b + a^c + a^d = \overline{a000}.</math>

			'''[[16402\|E:16402]] (Cristina Vijdeluc, Salonic și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

			''Fie <math>n \in \mathbb{N}^*</math> și numerele pozitive <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> care verifică relația

			<math>\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} = \frac{n}{n+1}.</math>

			Arătați că

			<math>\frac{1}{x_1 + 2} + \frac{1}{x_2 + 6} + \dots + \frac{1}{x_n + n(n+1)} \leq \frac{n}{2(n+1)}.</math>''

	'''[[28437]] (Nicolae Mușuroaia)'''		'''[[28437]] (Nicolae Mușuroaia)'''

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 4/2022 */

2024-12-05T13:00:34Z

Gazeta Matematică 4/2022

← Older revision		Revision as of 13:00, 5 December 2024
Line 60:		Line 60:
	'''[[S:E22.136]] (Cristina Vijdeluc, Mihai Vijdeluc)'''		'''[[S:E22.136]] (Cristina Vijdeluc, Mihai Vijdeluc)'''

	'' Aflați numerele <math>n</math>, <math>p</math> natuarale neule pentru care <math>2n^2 = 253 \cdot \left(p! + 2022)</math>, unde <math>p! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots\cdot p</math>.		'' Aflați numerele <math>n</math>, <math>p</math> natuarale neule pentru care <math>2n^2 = 253 \cdot \left(p! + 2022\right)</math>, unde <math>p! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots\cdot p</math>.

	== Gazeta Matematică 5/2022 ==		== Gazeta Matematică 5/2022 ==

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 4/2022 */

2024-12-05T12:59:52Z

Gazeta Matematică 4/2022

← Older revision		Revision as of 12:59, 5 December 2024
Line 55:		Line 55:

	''Fie'' <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> ''un poligon regulat și'' <math>M</math> ''un punct în interiorul poligonului. Notăm cu'' <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> ''simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.''		''Fie'' <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> ''un poligon regulat și'' <math>M</math> ''un punct în interiorul poligonului. Notăm cu'' <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> ''simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.''

			=== Supliment ===

			'''[[S:E22.136]] (Cristina Vijdeluc, Mihai Vijdeluc)'''

			'' Aflați numerele <math>n</math>, <math>p</math> natuarale neule pentru care <math>2n^2 = 253 \cdot \left(p! + 2022)</math>, unde <math>p! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots\cdot p</math>.

	== Gazeta Matematică 5/2022 ==		== Gazeta Matematică 5/2022 ==

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 10/2022 */

2024-12-01T08:16:33Z

Gazeta Matematică 10/2022

← Older revision		Revision as of 08:16, 1 December 2024
Line 88:		Line 88:

	''Afișați numerele întregi pozitive <math>\overline{abcd}</math> cu proprietatea '' <math>a^7 + a^b + a^c + a^d = \overline{a000}.</math>		''Afișați numerele întregi pozitive <math>\overline{abcd}</math> cu proprietatea '' <math>a^7 + a^b + a^c + a^d = \overline{a000}.</math>

			'''[[28437]] (Nicolae Mușuroaia)'''

			'' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=\ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n}. </math>

	== Gazeta Matematică 11/2022 ==		== Gazeta Matematică 11/2022 ==

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 11/2022 */

2024-11-30T17:47:12Z

Gazeta Matematică 11/2022

← Older revision		Revision as of 17:47, 30 November 2024
Line 94:		Line 94:

	''Aflați cifrele nenule <math>a </math> și <math>b</math> pentru care <math>a + 10 \cdot (a + b)^{3} = \overline{baba}.</math>''		''Aflați cifrele nenule <math>a </math> și <math>b</math> pentru care <math>a + 10 \cdot (a + b)^{3} = \overline{baba}.</math>''

			'''[[28450]] (Nicolae Mușuroia)'''

			''Fie <math>n \in </math> ℕ, <math>n \geq 4</math> și <math>p \in \{1, 2,..., [n/2]\}.</math> Considerăm mulțimile disjuncte <math>A = \{ a_{1}, a_{2},..., a_{n} \}</math> și <math>B = \{ b_{1}, b_{2},..., b_{n} \}</math>, formate din primii <math>n</math> termeni a două progresii aritmetice <math>(a_{k})_{k\geq1}</math> și <math>(b_{k})_{k\geq1}</math> cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice <math>n + p + 1</math> elemente distincte ale mulțimii <math>A \cup B</math> există două a căror sumă este egală cu <math>a_{2p} + b_p.</math>''

Andrei.Horvat at 17:45, 30 November 2024

2024-11-30T17:45:58Z

← Older revision		Revision as of 17:45, 30 November 2024
Line 94:		Line 94:

	''Aflați cifrele nenule <math>a </math> și <math>b</math> pentru care <math>a + 10 \cdot (a + b)^{3} = \overline{baba}.</math>''		''Aflați cifrele nenule <math>a </math> și <math>b</math> pentru care <math>a + 10 \cdot (a + b)^{3} = \overline{baba}.</math>''

	~~== Gazeta Matematică 11/2022 ==~~