Gazeta matematică 2021 - Revision history

Andrei.Horvat at 09:24, 3 January 2025

2025-01-03T09:24:05Z

← Older revision		Revision as of 09:24, 3 January 2025
Line 37:		Line 37:
	''		''
	<ol type="a"><li> ''Arătați că subgrupurile <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math> au același număr de elemente.''</li>		<ol type="a"><li> ''Arătați că subgrupurile <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math> au același număr de elemente.''</li>
	<li>''Dacă <math>G = H_1 \cup H_2 \cup H_3</math>, arătați că grupul <math>G</math> este de tip Klein.''</li>		<li>''Dacă <math>G = H_1 \cup H_2 \cup H_3</math>, arătați că grupul <math>G</math> este de tip Klein.''</li></ol>

	== Gazeta Matematică 12/2021 ==		== Gazeta Matematică 12/2021 ==

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 11/2021 */

2025-01-03T09:23:25Z

Gazeta Matematică 11/2021

← Older revision		Revision as of 09:23, 3 January 2025
Line 34:		Line 34:
	'''[[28206]] (Dana Heuberger)'''		'''[[28206]] (Dana Heuberger)'''

	''Fie <math>\left(G,\cdot\right)</math> un grup cu elementul neutru <math>e</math> care conține subgrupurile proprii, distincte, finite <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math>, astfel încât pentru orice permutare <math>\sigma \in S_3</math> și orice <math>a \in H_{\sigma\left(1\right)} \setminus \left\{e\right\}</math>, <math>b \in H_{\sigma\left(2\right)} \setminus \left\{e\right\}</math>, ~~rezutiă~~ că <math>ab \in H_{\sigma\left(3\right)}</math>.		''Fie <math>\left(G,\cdot\right)</math> un grup cu elementul neutru <math>e</math> care conține subgrupurile proprii, distincte, finite <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math>, astfel încât pentru orice permutare <math>\sigma \in S_3</math> și orice <math>a \in H_{\sigma\left(1\right)} \setminus \left\{e\right\}</math>, <math>b \in H_{\sigma\left(2\right)} \setminus \left\{e\right\}</math>, rezultă că <math>ab \in H_{\sigma\left(3\right)}</math>.
	''		''
	<ol type="a"><li> ''Arătați că subgrupurile <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math> au același număr de elemente.''</li>		<ol type="a"><li> ''Arătați că subgrupurile <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math> au același număr de elemente.''</li>

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 11/2021 */

2025-01-03T09:22:48Z

Gazeta Matematică 11/2021

← Older revision		Revision as of 09:22, 3 January 2025
Line 35:		Line 35:

	''Fie <math>\left(G,\cdot\right)</math> un grup cu elementul neutru <math>e</math> care conține subgrupurile proprii, distincte, finite <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math>, astfel încât pentru orice permutare <math>\sigma \in S_3</math> și orice <math>a \in H_{\sigma\left(1\right)} \setminus \left\{e\right\}</math>, <math>b \in H_{\sigma\left(2\right)} \setminus \left\{e\right\}</math>, rezutiă că <math>ab \in H_{\sigma\left(3\right)}</math>.		''Fie <math>\left(G,\cdot\right)</math> un grup cu elementul neutru <math>e</math> care conține subgrupurile proprii, distincte, finite <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math>, astfel încât pentru orice permutare <math>\sigma \in S_3</math> și orice <math>a \in H_{\sigma\left(1\right)} \setminus \left\{e\right\}</math>, <math>b \in H_{\sigma\left(2\right)} \setminus \left\{e\right\}</math>, rezutiă că <math>ab \in H_{\sigma\left(3\right)}</math>.
			''
	<ol type="a"><li> Arătați că subgrupurile <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math> au același număr de elemente.</li>		<ol type="a"><li> ''Arătați că subgrupurile <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math> au același număr de elemente.''</li>
	<li> Dacă <math>G = H_1 \cup H_2 \cup H_3</math>, arătați că grupul <math>G</math> este de tip Klein.</li>''		<li>''Dacă <math>G = H_1 \cup H_2 \cup H_3</math>, arătați că grupul <math>G</math> este de tip Klein.''</li>

	== Gazeta Matematică 12/2021 ==		== Gazeta Matematică 12/2021 ==

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 11/2021 */

2025-01-03T09:17:18Z

Gazeta Matematică 11/2021

← Older revision		Revision as of 09:17, 3 January 2025
Line 30:		Line 30:
	<ol type="a"><li> Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math> care nu este monotonă. </li>		<ol type="a"><li> Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math> care nu este monotonă. </li>
	<li> Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math> care nu este continuă.</li>		<li> Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math> care nu este continuă.</li>
			<li> Fie <math>f</math> o funcție care admite primitive și are proprietatea <math> \mathcal{P}</math> . Arătați că, dacă <math>f(x)\ge e^x</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, atunci <math>f</math> este surjectivă.</li></ol>''

			'''[[28206]] (Dana Heuberger)'''

			''Fie <math>\left(G,\cdot\right)</math> un grup cu elementul neutru <math>e</math> care conține subgrupurile proprii, distincte, finite <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math>, astfel încât pentru orice permutare <math>\sigma \in S_3</math> și orice <math>a \in H_{\sigma\left(1\right)} \setminus \left\{e\right\}</math>, <math>b \in H_{\sigma\left(2\right)} \setminus \left\{e\right\}</math>, rezutiă că <math>ab \in H_{\sigma\left(3\right)}</math>.

	<li> ~~Fie~~ <math>f</math> ~~o funcție care admite primitive și are proprietatea~~ <math> ~~\mathcal{P}~~</math> ~~. Arătați că, dacă~~ <math>~~f(x)\ge e^x~~</math>~~, pentru orice~~ <math>x\~~ge 0~~</math>, ~~atunci~~ <math>f</math> este ~~surjectivă~~.</li~~></ol~~>''		<ol type="a"><li> Arătați că subgrupurile <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math> au același număr de elemente.</li>
			<li> Dacă <math>G = H_1 \cup H_2 \cup H_3</math>, arătați că grupul <math>G</math> este de tip Klein.</li>''

	== Gazeta Matematică 12/2021 ==		== Gazeta Matematică 12/2021 ==

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 6-7-8/2021 */

2024-12-01T08:58:08Z

Gazeta Matematică 6-7-8/2021

← Older revision		Revision as of 08:58, 1 December 2024
Line 1:		Line 1:
	== Gazeta Matematică 6-7-8/2021 ==		== Gazeta Matematică 6-7-8/2021 ==

			'''[[E:15990]] (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

			''Aflați numărul'' <math>\overline{xyzt}= \overline{ab}\cdot\overline{ac}</math>, ''știind că'' <math>\overline{a,b}+\overline{a,c}=p^2</math> și <math>\overline{ab}-\overline{ac}=q^2</math>, ''unde p și q sunt numere prime.''

			'''[[E:15991]] (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare )'''

			''Aflați numerele naturale <math>n</math> și <math>\overline{abc}</math> pentru care <math>\overline{abc}\cdot n^4=\overline{3abc}</math>.''

			'''[[E:15992]] (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

			''Aflați numerele naturale <math>x</math> și <math>\overline{abcd}</math> pentru care este adevărată relația <math>5[(\overline{ab}+\overline{cd})(\overline{ad}+\overline{cb})-1]=2022-3^x</math>.''

	== Gazeta Matematică 10/2021 ==		== Gazeta Matematică 10/2021 ==

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 12/2021 */

2024-11-30T17:54:26Z

Gazeta Matematică 12/2021

← Older revision		Revision as of 17:54, 30 November 2024
Line 23:		Line 23:
	== Gazeta Matematică 12/2021 ==		== Gazeta Matematică 12/2021 ==

	'''[[28208]] (Dana Heuberger~~, Baia Mare~~)'''		'''[[28208]] (Dana Heuberger)'''

	''Considerăm pentagonul convex ABCDE înscris într-un cerc și <math>H_1, H_2, H_3, H_4, H_5</math> ortocentrele triunghiurilor'' <math>ACD</math>'','' <math>BDE</math>'','' <math>CEA</math>'','' <math>DAB</math>'', respectiv'' <math>EBC</math>''. Arătați că, dacă <math>H_1H_2 \parallel AB</math>, <math>H_2H_3 \parallel BC</math>, <math>H_3H_4 \parallel CD</math> și <math>H_4H_5 \parallel DE</math>, atunci'' <math>ABCDE</math> ''și <math>H_1H_2H_3H_4H_5</math> sunt pentagoane regulate.''		''Considerăm pentagonul convex ABCDE înscris într-un cerc și <math>H_1, H_2, H_3, H_4, H_5</math> ortocentrele triunghiurilor'' <math>ACD</math>'','' <math>BDE</math>'','' <math>CEA</math>'','' <math>DAB</math>'', respectiv'' <math>EBC</math>''. Arătați că, dacă <math>H_1H_2 \parallel AB</math>, <math>H_2H_3 \parallel BC</math>, <math>H_3H_4 \parallel CD</math> și <math>H_4H_5 \parallel DE</math>, atunci'' <math>ABCDE</math> ''și <math>H_1H_2H_3H_4H_5</math> sunt pentagoane regulate.''

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 12/2021 */

2024-11-30T17:54:09Z

Gazeta Matematică 12/2021

← Older revision		Revision as of 17:54, 30 November 2024
Line 22:		Line 22:

	== Gazeta Matematică 12/2021 ==		== Gazeta Matematică 12/2021 ==

			'''[[28208]] (Dana Heuberger, Baia Mare)'''

			''Considerăm pentagonul convex ABCDE înscris într-un cerc și <math>H_1, H_2, H_3, H_4, H_5</math> ortocentrele triunghiurilor'' <math>ACD</math>'','' <math>BDE</math>'','' <math>CEA</math>'','' <math>DAB</math>'', respectiv'' <math>EBC</math>''. Arătați că, dacă <math>H_1H_2 \parallel AB</math>, <math>H_2H_3 \parallel BC</math>, <math>H_3H_4 \parallel CD</math> și <math>H_4H_5 \parallel DE</math>, atunci'' <math>ABCDE</math> ''și <math>H_1H_2H_3H_4H_5</math> sunt pentagoane regulate.''

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 11/2021 */

2024-11-30T17:53:11Z

Gazeta Matematică 11/2021

← Older revision		Revision as of 17:53, 30 November 2024
Line 9:		Line 9:

	== Gazeta Matematică 11/2021 ==		== Gazeta Matematică 11/2021 ==

			'''[[28203]] (Dana Heuberger)'''

			''Fie <math> f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} </math> o funcție cu proprietatea

			<math>\mathcal{P}: f(f(x)-e^x)=e^{f(x)-e^x} + x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}.</math>

			<ol type="a"><li> Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math> care nu este monotonă. </li>
			<li> Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math> care nu este continuă.</li>

			<li> Fie <math>f</math> o funcție care admite primitive și are proprietatea <math> \mathcal{P}</math> . Arătați că, dacă <math>f(x)\ge e^x</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, atunci <math>f</math> este surjectivă.</li></ol>''

	== Gazeta Matematică 12/2021 ==		== Gazeta Matematică 12/2021 ==

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 10/2021 */

2024-11-30T17:52:26Z

Gazeta Matematică 10/2021

← Older revision		Revision as of 17:52, 30 November 2024
Line 6:		Line 6:

	''Aflați șirul de numere naturale nenule <math>(a_n)_{n\geq1}</math> pentru care		''Aflați șirul de numere naturale nenule <math>(a_n)_{n\geq1}</math> pentru care
	<math>\frac{1}{{(1+a_1) \cdot a_{a_1}}} + \frac{1}{{(1+a_2) \cdot a_{a_2}}} + \ldots + \frac{1}{{(1+a_n) \cdot a_{a_n}}} = \frac{n}{{n+1}}</math>, pentru orice <math>n \geq 1</math>.''		<math display="block">\frac{1}{{(1+a_1) \cdot a_{a_1}}} + \frac{1}{{(1+a_2) \cdot a_{a_2}}} + \ldots + \frac{1}{{(1+a_n) \cdot a_{a_n}}} = \frac{n}{{n+1}}</math>''pentru orice'' <math>n \geq 1</math>.

	== Gazeta Matematică 11/2021 ==		== Gazeta Matematică 11/2021 ==

	== Gazeta Matematică 12/2021 ==		== Gazeta Matematică 12/2021 ==

Andrei.Horvat: Created page with "== Gazeta Matematică 6-7-8/2021 == == Gazeta Matematică 10/2021 == '''28163 (Dana Heuberger)''' ''Aflați șirul de numere naturale nenule $(a_n)_{n\geq1}$ pentru care $\frac{1}{{(1+a_1) \cdot a_{a_1}}} + \frac{1}{{(1+a_2) \cdot a_{a_2}}} + \ldots + \frac{1}{{(1+a_n) \cdot a_{a_n}}} = \frac{n}{{n+1}}$ , pentru orice $n \geq 1$ .'' == Gazeta Matematică 11/2021 == == Gazeta Matematică 12/2021 =="

2024-11-30T17:50:31Z

Created page with "== Gazeta Matematică 6-7-8/2021 == == Gazeta Matematică 10/2021 == '''28163 (Dana Heuberger)''' ''Aflați șirul de numere naturale nenule <math>(a_n)_{n\geq1}</math> pentru care <math>\frac{1}{{(1+a_1) \cdot a_{a_1}}} + \frac{1}{{(1+a_2) \cdot a_{a_2}}} + \ldots + \frac{1}{{(1+a_n) \cdot a_{a_n}}} = \frac{n}{{n+1}}</math>, pentru orice <math>n \geq 1</math>.'' == Gazeta Matematică 11/2021 == == Gazeta Matematică 12/2021 =="

New page

== Gazeta Matematică 6-7-8/2021 ==

== Gazeta Matematică 10/2021 ==

'''[[28163]] (Dana Heuberger)'''

''Aflați șirul de numere naturale nenule <math>(a_n)_{n\geq1}</math> pentru care
<math>\frac{1}{{(1+a_1) \cdot a_{a_1}}} + \frac{1}{{(1+a_2) \cdot a_{a_2}}} + \ldots + \frac{1}{{(1+a_n) \cdot a_{a_n}}} = \frac{n}{{n+1}}</math>, pentru orice <math>n \geq 1</math>.''

== Gazeta Matematică 11/2021 ==

== Gazeta Matematică 12/2021 ==