Gazeta matematică 2012 - Revision history

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 3/2012 */

2025-01-19T07:26:59Z

Gazeta Matematică 3/2012

← Older revision		Revision as of 07:26, 19 January 2025
Line 4:		Line 4:

	''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:''		''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:''

	<math>2012 = a_1 \cdot3^x + a_2\cdot3^y + a_3\cdot3^z + a_4\cdot3^t + a_5\cdot3^u + a_6\cdot3^r + a_7\cdot3^s.</math>		<math>2012 = a_1 \cdot3^x + a_2\cdot3^y + a_3\cdot3^z + a_4\cdot3^t + a_5\cdot3^u + a_6\cdot3^r + a_7\cdot3^s.</math>
			''Arătați că <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = m^2 + n^2, m,n\in\Nu</math>''
	Arătați că <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = m^2 + n^2, m,n\in\Nu~~</math>~~

	~~''Alexandru Vele, Târgu Lăpuș''~~

	''Soluție. Dacă <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math>'' sunt mai mici decât 3, atunci ''<math>a_1 \cdot3^x + a_2\cdot3^y + a_3\cdot3^z + a_4\cdot3^t + a_5\cdot3^u + a_6\cdot3^r + a_7\cdot3^s</math>'' poate fi privită ca scrierea în baza 3 a lui 2012. Cum <math>2012 = 2\cdot3^0 + 1\cdot3^1 + 1\cdot3^2 + 2\cdot3^3 + 0\cdot3^4 + 2\cdot3^5. + 2\cdot3^6</math> avem <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 2 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2 + 2 = 10 = 1^2 + 3^2.</math> Dacă cel puțin unul dintre numerele <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> este mai mare sau egal cu 3, atunci problema nu mai rămâne adevărată; 2012 se poate scrie ca o suma de puteri ale lui 3, dar suma a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 nu se mai scrie, sigur, ca sumă de două pătrate.

	== Gazeta Matematică 3/2012 ==		== Gazeta Matematică 3/2012 ==

Andrei.Horvat at 07:25, 19 January 2025

2025-01-19T07:25:51Z

← Older revision		Revision as of 07:25, 19 January 2025
Line 1:		Line 1:
	== Gazeta Matematică 3/2012 ==		== Gazeta Matematică 3/2012 ==

	'''[[14309\|E:14309]] (~~Bogdan Pop~~)'''		'''[[14309\|E:14309]] (Alexandru Vele)'''

	''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:''		''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:''

Bogdan.Pop at 12:51, 17 January 2025

2025-01-17T12:51:23Z

← Older revision		Revision as of 12:51, 17 January 2025
Line 1:		Line 1:
	== Gazeta Matematică 3/2012 ==		== Gazeta Matematică 3/2012 ==

	'''[[~~E14309~~\|E:14309]] (Bogdan Pop)'''		'''[[14309\|E:14309]] (Bogdan Pop)'''

	''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:''		''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:''

Bogdan.Pop: adaugat execitiul 14309 din editia 2012

2025-01-17T12:43:08Z

adaugat execitiul 14309 din editia 2012

← Older revision		Revision as of 12:43, 17 January 2025
Line 1:		Line 1:
			== Gazeta Matematică 3/2012 ==

			'''[[E14309\|E:14309]] (Bogdan Pop)'''

			''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:''

			<math>2012 = a_1 \cdot3^x + a_2\cdot3^y + a_3\cdot3^z + a_4\cdot3^t + a_5\cdot3^u + a_6\cdot3^r + a_7\cdot3^s.</math>

			Arătați că <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = m^2 + n^2, m,n\in\Nu</math>

			''Alexandru Vele, Târgu Lăpuș''

			''Soluție. Dacă <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math>'' sunt mai mici decât 3, atunci ''<math>a_1 \cdot3^x + a_2\cdot3^y + a_3\cdot3^z + a_4\cdot3^t + a_5\cdot3^u + a_6\cdot3^r + a_7\cdot3^s</math>'' poate fi privită ca scrierea în baza 3 a lui 2012. Cum <math>2012 = 2\cdot3^0 + 1\cdot3^1 + 1\cdot3^2 + 2\cdot3^3 + 0\cdot3^4 + 2\cdot3^5. + 2\cdot3^6</math> avem <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 2 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2 + 2 = 10 = 1^2 + 3^2.</math> Dacă cel puțin unul dintre numerele <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> este mai mare sau egal cu 3, atunci problema nu mai rămâne adevărată; 2012 se poate scrie ca o suma de puteri ale lui 3, dar suma a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 nu se mai scrie, sigur, ca sumă de două pătrate.

	== Gazeta Matematică 3/2012 ==		== Gazeta Matematică 3/2012 ==

Andrei.Horvat at 08:12, 16 January 2025

2025-01-16T08:12:43Z

← Older revision		Revision as of 08:12, 16 January 2025
Line 13:		Line 13:
	'''[[E:14312]] (Iulian Bunu)'''		'''[[E:14312]] (Iulian Bunu)'''

	''Andrei are o anumită sumă de bani și se pregătește pentru două evenimente: Tabăra de Matematică și aniversarea Anei. Dacă ar câștiga premiul de 50 de lei și n-ar putea merge la aniversare, noua sumă ar fi cubul unui număr natural, iar dacă n-ar câștiga nimic, dar ar cheltui pentru cadou 50 de lei, noua sumă ar fi pătratul aceluiași număr natural. Ce sumă are Andrei? ''		''Andrei are o anumită sumă de bani și se pregătește pentru două evenimente: Tabăra de Matematică și aniversarea Anei. Dacă ar câștiga premiul de 50 de lei și n-ar putea merge la aniversare, noua sumă ar fi cubul unui număr natural, iar dacă n-ar câștiga nimic, dar ar cheltui pentru cadou 50 de lei, noua sumă ar fi pătratul aceluiași număr natural. Ce sumă are Andrei? ''<p>

	'''[[E:14313]] (Emil Florin Bizău și Ioan Bizău)'''		'''[[E:14313]] (Emil Florin Bizău și Ioan Bizău)'''<p>

	''Determinați numerele întregi <math>x</math>, <math>y</math> și <math>z</math> astfel încât		''Determinați numerele întregi <math>x</math>, <math>y</math> și <math>z</math> astfel încât'' <math>\frac{2x + 3}{3} = \frac{2}{3y - 1} = \frac{5}{4z - 3}</math>.
	<math>\frac{2x + 3}{3} = \frac{2}{3y - 1} = \frac{5}{4z - 3}</math>.''

	== Gazeta Matematică 4/2012 ==		== Gazeta Matematică 4/2012 ==

Andrei.Horvat at 08:11, 16 January 2025

2025-01-16T08:11:16Z

← Older revision		Revision as of 08:11, 16 January 2025
Line 11:		Line 11:
	c) ''Dacă <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt numere prime, determinați restul împărțirii numărului <math> S</math> la <math> 18 </math>.''<p>		c) ''Dacă <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt numere prime, determinați restul împărțirii numărului <math> S</math> la <math> 18 </math>.''<p>

	'''[[E:14312]] (Iulian Bunu)'''~~<p>~~		'''[[E:14312]] (Iulian Bunu)'''

	''Andrei are o anumită sumă de bani și se pregătește pentru două evenimente: Tabăra de Matematică și aniversarea Anei. Dacă ar câștiga premiul de 50 de lei și n-ar putea merge la aniversare, noua sumă ar fi cubul unui număr natural, iar dacă n-ar câștiga nimic, dar ar cheltui pentru cadou 50 de lei, noua sumă ar fi pătratul aceluiași număr natural. Ce sumă are Andrei? ''		''Andrei are o anumită sumă de bani și se pregătește pentru două evenimente: Tabăra de Matematică și aniversarea Anei. Dacă ar câștiga premiul de 50 de lei și n-ar putea merge la aniversare, noua sumă ar fi cubul unui număr natural, iar dacă n-ar câștiga nimic, dar ar cheltui pentru cadou 50 de lei, noua sumă ar fi pătratul aceluiași număr natural. Ce sumă are Andrei? ''
Line 18:		Line 18:

	''Determinați numerele întregi <math>x</math>, <math>y</math> și <math>z</math> astfel încât		''Determinați numerele întregi <math>x</math>, <math>y</math> și <math>z</math> astfel încât
	<math>(2x + 3~~) / (~~3y - 1) = ~~2 / 3</math> și <math>~~5 ~~/ (~~4z - 3~~) = 3.~~</math>''		<math>\frac{2x + 3}{3} = \frac{2}{3y - 1} = \frac{5}{4z - 3}</math>.''

	== Gazeta Matematică 4/2012 ==		== Gazeta Matematică 4/2012 ==

Andrei.Horvat at 08:08, 16 January 2025

2025-01-16T08:08:48Z

← Older revision		Revision as of 08:08, 16 January 2025
Line 14:		Line 14:

	''Andrei are o anumită sumă de bani și se pregătește pentru două evenimente: Tabăra de Matematică și aniversarea Anei. Dacă ar câștiga premiul de 50 de lei și n-ar putea merge la aniversare, noua sumă ar fi cubul unui număr natural, iar dacă n-ar câștiga nimic, dar ar cheltui pentru cadou 50 de lei, noua sumă ar fi pătratul aceluiași număr natural. Ce sumă are Andrei? ''		''Andrei are o anumită sumă de bani și se pregătește pentru două evenimente: Tabăra de Matematică și aniversarea Anei. Dacă ar câștiga premiul de 50 de lei și n-ar putea merge la aniversare, noua sumă ar fi cubul unui număr natural, iar dacă n-ar câștiga nimic, dar ar cheltui pentru cadou 50 de lei, noua sumă ar fi pătratul aceluiași număr natural. Ce sumă are Andrei? ''

			'''[[E:14313]] (Emil Florin Bizău și Ioan Bizău)'''

			''Determinați numerele întregi <math>x</math>, <math>y</math> și <math>z</math> astfel încât
			<math>(2x + 3) / (3y - 1) = 2 / 3</math> și <math>5 / (4z - 3) = 3.</math>''

	== Gazeta Matematică 4/2012 ==		== Gazeta Matematică 4/2012 ==

Andrei.Horvat at 08:06, 16 January 2025

2025-01-16T08:06:08Z

← Older revision		Revision as of 08:06, 16 January 2025
Line 9:		Line 9:
	b) ''Dacă <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt simultan numere prime, arătați că există <math> k \in \mathbb{N} </math> astfel încât <math> S = 9k + 5</math>. '' <p>		b) ''Dacă <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt simultan numere prime, arătați că există <math> k \in \mathbb{N} </math> astfel încât <math> S = 9k + 5</math>. '' <p>

	c) ''Dacă <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt numere prime, determinați restul împărțirii numărului <math> S</math> la <math> 18 </math>.''		c) ''Dacă <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt numere prime, determinați restul împărțirii numărului <math> S</math> la <math> 18 </math>.''<p>

	'''[[E:14312]] (Iulian Bunu)'''		'''[[E:14312]] (Iulian Bunu)'''<p>

	''Andrei are o anumită sumă de bani și se pregătește pentru două evenimente: Tabăra de Matematică și aniversarea Anei. Dacă ar câștiga premiul de 50 de lei și n-ar putea merge la aniversare, noua sumă ar fi cubul unui număr natural, iar dacă n-ar câștiga nimic, dar ar cheltui pentru cadou 50 de lei, noua sumă ar fi pătratul aceluiași număr natural. Ce sumă are Andrei? ''		''Andrei are o anumită sumă de bani și se pregătește pentru două evenimente: Tabăra de Matematică și aniversarea Anei. Dacă ar câștiga premiul de 50 de lei și n-ar putea merge la aniversare, noua sumă ar fi cubul unui număr natural, iar dacă n-ar câștiga nimic, dar ar cheltui pentru cadou 50 de lei, noua sumă ar fi pătratul aceluiași număr natural. Ce sumă are Andrei? ''

Andrei.Horvat: /* Gazeta Matematică 3/2012 */

2025-01-16T07:54:15Z

Gazeta Matematică 3/2012

← Older revision		Revision as of 07:54, 16 January 2025
Line 10:		Line 10:

	c) ''Dacă <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt numere prime, determinați restul împărțirii numărului <math> S</math> la <math> 18 </math>.''		c) ''Dacă <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt numere prime, determinați restul împărțirii numărului <math> S</math> la <math> 18 </math>.''

			'''[[E:14312]] (Iulian Bunu)'''

			''Andrei are o anumită sumă de bani și se pregătește pentru două evenimente: Tabăra de Matematică și aniversarea Anei. Dacă ar câștiga premiul de 50 de lei și n-ar putea merge la aniversare, noua sumă ar fi cubul unui număr natural, iar dacă n-ar câștiga nimic, dar ar cheltui pentru cadou 50 de lei, noua sumă ar fi pătratul aceluiași număr natural. Ce sumă are Andrei? ''

	== Gazeta Matematică 4/2012 ==		== Gazeta Matematică 4/2012 ==

Andrei.Horvat at 07:43, 16 January 2025

2025-01-16T07:43:41Z

← Older revision		Revision as of 07:43, 16 January 2025
Line 1:		Line 1:
	~~== Gazeta Matematică 2/2012 ==~~

	~~'''[[E:16610]] (Cristina Vijdeluc, Salonic și Mihai Vijdeluc) '''~~

	''Aflați numerele naturale <math>\overline{abc}</math>, știind că <math>\overline{ab}</math> și <math>\overline{cb}</math> sunt numere prime și <math>\overline{ab}^2 + \overline{cb}^2 + b^2 = 2027</math>.''

	== Gazeta Matematică 3/2012 ==		== Gazeta Matematică 3/2012 ==