E14309 - Revision history

Bogdan.Pop: Blanked the page

2025-01-17T12:52:04Z

Blanked the page

← Older revision		Revision as of 12:52, 17 January 2025
Line 1:		Line 1:
	~~'''E:14309. (Alexandru Vele, Târgu Lăpuș)'''~~

	~~''Determinați numerele naturale <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math>'' ''astfel încât să avem egalitatea:''~~

	~~''2012 = <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math>''~~

	~~''Arătați că a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> + a<sub>3</sub> + a<sub>4</sub> + a<sub>5</sub> + a<sub>6</sub> + a<sub>7</sub> = m<sup>2</sup> + n<sup>2</sup> , m,n ∈ <math>\Nu</math>''~~

	~~'''Soluție.'''~~

	Dacă <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> sunt mai mici decât 3 atunci, <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math> poate fi privită ca scrierea în baza 3 a lui 2012. Cum <math>2012 = 2 \cdot 3^0 + 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^6</math> avem <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 2 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2 + 2 = 10 = 1^2 + 3^2</math>. Dacă cel puțin unul dintre numerele <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> este mai mare sau egal cu 3, atunci problema nu mai rămâne adevărată; 2012 se poate scrie ca o sumă de puteri ale lui 3, dar suma <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7</math> nu se mai scrie, sigur, ca sumă două pătrate.

Bogdan.Pop at 12:49, 17 January 2025

2025-01-17T12:49:50Z

← Older revision		Revision as of 12:49, 17 January 2025
Line 1:		Line 1:
	'''14309. (Alexandru Vele, Târgu Lăpuș)'''		'''E:14309. (Alexandru Vele, Târgu Lăpuș)'''

	''Determinați numerele naturale <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math>'' ''astfel încât să avem egalitatea:''		''Determinați numerele naturale <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math>'' ''astfel încât să avem egalitatea:''

Bogdan.Pop at 12:49, 17 January 2025

2025-01-17T12:49:36Z

← Older revision		Revision as of 12:49, 17 January 2025
Line 1:		Line 1:
	'''E:14309. (Alexandru Vele, Târgu Lăpuș)'''		'''14309. (Alexandru Vele, Târgu Lăpuș)'''

	''Determinați numerele naturale <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math>'' ''astfel încât să avem egalitatea:''		''Determinați numerele naturale <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math>'' ''astfel încât să avem egalitatea:''

Danciu Daniel at 02:50, 17 January 2025

2025-01-17T02:50:45Z

← Older revision		Revision as of 02:50, 17 January 2025
Line 1:		Line 1:
	'''E:14309. (Alexandru Vele, Târgu Lăpuș)'''		'''E:14309. (Alexandru Vele, Târgu Lăpuș)'''

	''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:''		''Determinați numerele naturale <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math>'' ''astfel încât să avem egalitatea:''
	~~''2012 ='' <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math>~~

	''Arătați că a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> + a<sub>3</sub> + a<sub>4</sub> + a<sub>5</sub> + a<sub>6</sub> + a<sub>7</sub> = m<sup>2</sup> + n<sup>2</sup> , m,n ∈ <math>\Nu</math>''		''2012 = <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math>''
	'''Soluție'''
			''Arătați că a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> + a<sub>3</sub> + a<sub>4</sub> + a<sub>5</sub> + a<sub>6</sub> + a<sub>7</sub> = m<sup>2</sup> + n<sup>2</sup> , m,n ∈ <math>\Nu</math>''

			'''Soluție.'''

	Dacă <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> sunt mai mici decât 3 atunci, <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math> poate fi privită ca scrierea în baza 3 a lui 2012. Cum <math>2012 = 2 \cdot 3^0 + 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^6</math> avem <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 2 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2 + 2 = 10 = 1^2 + 3^2</math>. Dacă cel puțin unul dintre numerele <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> este mai mare sau egal cu 3, atunci problema nu mai rămâne adevărată; 2012 se poate scrie ca o sumă de puteri ale lui 3, dar suma <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7</math> nu se mai scrie, sigur, ca sumă două pătrate.		Dacă <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> sunt mai mici decât 3 atunci, <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math> poate fi privită ca scrierea în baza 3 a lui 2012. Cum <math>2012 = 2 \cdot 3^0 + 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^6</math> avem <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 2 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2 + 2 = 10 = 1^2 + 3^2</math>. Dacă cel puțin unul dintre numerele <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> este mai mare sau egal cu 3, atunci problema nu mai rămâne adevărată; 2012 se poate scrie ca o sumă de puteri ale lui 3, dar suma <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7</math> nu se mai scrie, sigur, ca sumă două pătrate.

Danciu Daniel at 02:49, 17 January 2025

2025-01-17T02:49:58Z

← Older revision		Revision as of 02:49, 17 January 2025
Line 2:		Line 2:

	''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:''		''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:''
			''2012 ='' <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math>

	~~''2012 ='' <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math>~~		''Arătați că a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> + a<sub>3</sub> + a<sub>4</sub> + a<sub>5</sub> + a<sub>6</sub> + a<sub>7</sub> = m<sup>2</sup> + n<sup>2</sup> , m,n ∈ <math>\Nu</math>''

	''Arătați că a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> + a<sub>3</sub> + a<sub>4</sub> + a<sub>5</sub> + a<sub>6</sub> + a<sub>7</sub> = m<sup>2</sup> + n<sup>2</sup> , m,n ∈ <math>\Nu</math>''

	'''Soluție'''		'''Soluție'''

	Dacă <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> sunt mai mici decât 3 atunci, <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math> poate fi privită ca scrierea în baza 3 a lui 2012. Cum <math>2012 = 2 \cdot 3^0 + 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^6</math> avem <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 2 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2 + 2 = 10 = 1^2 + 3^2</math>. Dacă cel puțin unul dintre numerele <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> este mai mare sau egal cu 3, atunci problema nu mai rămâne adevărată; 2012 se poate scrie ca o sumă de puteri ale lui 3, dar suma <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7</math> nu se mai scrie, sigur, ca sumă două pătrate.		Dacă <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> sunt mai mici decât 3 atunci, <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math> poate fi privită ca scrierea în baza 3 a lui 2012. Cum <math>2012 = 2 \cdot 3^0 + 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^6</math> avem <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 2 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2 + 2 = 10 = 1^2 + 3^2</math>. Dacă cel puțin unul dintre numerele <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> este mai mare sau egal cu 3, atunci problema nu mai rămâne adevărată; 2012 se poate scrie ca o sumă de puteri ale lui 3, dar suma <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7</math> nu se mai scrie, sigur, ca sumă două pătrate.

Danciu Daniel: Created page with "'''E:14309. (Alexandru Vele, Târgu Lăpuș)''' ''Determinați numerele naturale'' $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$ ''astfel încât să avem egalitatea:'' ''2012 ='' $a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s$ ''Arătați că a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ = m² + n² , m,n..."

2025-01-17T02:48:45Z

Created page with "'''E:14309. (Alexandru Vele, Târgu Lăpuș)''' ''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:'' ''2012 ='' <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math> ''Arătați că a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = m2 + n2 , m,n..."

New page

'''E:14309. (Alexandru Vele, Târgu Lăpuș)'''

''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:''

''2012 ='' <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math>

''Arătați că a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = m2 + n2 , m,n ∈ <math>\Nu</math>''

'''Soluție'''

Dacă <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> sunt mai mici decât 3 atunci, <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math> poate fi privită ca scrierea în baza 3 a lui 2012. Cum <math>2012 = 2 \cdot 3^0 + 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^6</math> avem <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 2 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2 + 2 = 10 = 1^2 + 3^2</math>. Dacă cel puțin unul dintre numerele <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> este mai mare sau egal cu 3, atunci problema nu mai rămâne adevărată; 2012 se poate scrie ca o sumă de puteri ale lui 3, dar suma <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7</math> nu se mai scrie, sigur, ca sumă două pătrate.