E:7456 - Revision history

Andrei.Horvat at 13:51, 5 January 2025

2025-01-05T13:51:23Z

← Older revision		Revision as of 13:51, 5 January 2025
Line 14:		Line 14:

	Deci, pentru orice <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math> avem <math>F = \frac{16\cdot \left( 23 \cdot M_1 - 4^{n+1} \cdot M_2 \right)}{41\cdot 16 \cdot M_3} </math>, de unde se poate deduce că fracția <math>F </math> se poate simplifca prin ''<math>16</math>.''		Deci, pentru orice <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math> avem <math>F = \frac{16\cdot \left( 23 \cdot M_1 - 4^{n+1} \cdot M_2 \right)}{41\cdot 16 \cdot M_3} </math>, de unde se poate deduce că fracția <math>F </math> se poate simplifca prin ''<math>16</math>.''

			'''Observație'''

			Pentru <math>n=0</math> fracția <math>F </math> nu este bine definită!

			Dacă folosim notația ''<math>F_n = \frac{23^{n+1}-4^{n+1}\cdot 19^n - 7^n \cdot 23 + 2^{2n+2}\cdot 3^n}{41^{n+1}-5^{2n}\cdot 41} </math>'' oricare ar fi <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math>, atunci, după simplificarea cu ''<math>16</math>'', se obține<math display="block">F_n = \frac{23 \cdot {\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}23^{n-1-k}17^k} - 4^{n+1} \cdot {\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}19^{n-1-k}3^k}}{41\cdot {\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}41^{n-1-k}25^k}}</math>

Andrei.Horvat at 13:42, 5 January 2025

2025-01-05T13:42:08Z

← Older revision		Revision as of 13:42, 5 January 2025
Line 1:		Line 1:
	'''E:7456 (Mirela-Petrina Timiș)'''		'''E:7456 (Mirela-Petrina Timiș)'''

	''Să se arate că fracția <math>F = \frac{23^{n+1}-4^{n+1}\cdot 19^n - 7^n \cdot 23 + 2^{2n+2}\cdot 3^n}{41^{n+1}-5^{2n}\cdot 41} </math> se simlifică prin <math>16</math>''		''Să se arate că fracția <math>F = \frac{23^{n+1}-4^{n+1}\cdot 19^n - 7^n \cdot 23 + 2^{2n+2}\cdot 3^n}{41^{n+1}-5^{2n}\cdot 41} </math> se simlifică prin <math>16</math>.''

	'''Soluție'''		'''Soluție'''

	Pentru orice <math>F = \frac{23^{n+1}-4^{n+1}\cdot 19^n - 7^n \cdot 23 + 2^{2n+2}\cdot 3^n}{41^{n+1}~~-5^~~{~~2n}~~\cdot 41} </math>		Pentru orice <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math> avem <math>F = \frac{23\left(23^{n} - 7^n\right)-4^{n+1}\cdot \left( 19^n - 3^n\right)}{41\left(41^{n}-25^{n}\right)} </math>.

			Pentru orice numere reale <math>a,b \in \mathbb{R}</math> și <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math>, are loc egalitatea <math>a^n - b^n = \left(a-b\right) \cdot \left( a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + a^2 b^{n-3} + ab^{n-2}+ b^{n-1}\right)</math>, deci

			oricare ar fi numerele naturale <math>a,b \in \mathbb{N}</math>, cu <math>a>b</math>, și oricare ar fi <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math>, există <math>M\in \mathbb{N}</math> astfel încât <math>a^n - b^n = M\cdot \left(a-b\right)</math>.

			Atunci există numerele naturale <math>M_1,M_2,M_3 \in \mathbb{N}</math> pentru care <math>23^n-7^n = 16 \cdot M_1</math>, <math>19^n-3^n = 16 \cdot M_2</math>, respectiv <math>41^n-25^n = 16 \cdot M_3</math>.

			Deci, pentru orice <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math> avem <math>F = \frac{16\cdot \left( 23 \cdot M_1 - 4^{n+1} \cdot M_2 \right)}{41\cdot 16 \cdot M_3} </math>, de unde se poate deduce că fracția <math>F </math> se poate simplifca prin ''<math>16</math>.''

Andrei.Horvat at 13:26, 5 January 2025

2025-01-05T13:26:11Z

← Older revision		Revision as of 13:26, 5 January 2025
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție'''		'''Soluție'''

	Pentru orice		Pentru orice <math>F = \frac{23^{n+1}-4^{n+1}\cdot 19^n - 7^n \cdot 23 + 2^{2n+2}\cdot 3^n}{41^{n+1}-5^{2n}\cdot 41} </math>

Andrei.Horvat: Created page with "'''E:7456 (Mirela-Petrina Timiș)''' ''Să se arate că fracția $F = \frac{23^{n+1}-4^{n+1}\cdot 19^n - 7^n \cdot 23 + 2^{2n+2}\cdot 3^n}{41^{n+1}-5^{2n}\cdot 41}$ se simlifică prin $16$ '' '''Soluție''' Pentru orice"

2025-01-05T13:26:03Z

Created page with "'''E:7456 (Mirela-Petrina Timiș)''' ''Să se arate că fracția <math>F = \frac{23^{n+1}-4^{n+1}\cdot 19^n - 7^n \cdot 23 + 2^{2n+2}\cdot 3^n}{41^{n+1}-5^{2n}\cdot 41} </math> se simlifică prin <math>16</math>'' '''Soluție''' Pentru orice"

New page

'''E:7456 (Mirela-Petrina Timiș)'''

''Să se arate că fracția <math>F = \frac{23^{n+1}-4^{n+1}\cdot 19^n - 7^n \cdot 23 + 2^{2n+2}\cdot 3^n}{41^{n+1}-5^{2n}\cdot 41} </math> se simlifică prin <math>16</math>''

'''Soluție'''

Pentru orice

E:7456 - Revision history

Andrei.Horvat at 13:51, 5 January 2025

Andrei.Horvat at 13:42, 5 January 2025

Andrei.Horvat at 13:26, 5 January 2025

Andrei.Horvat: Created page with "'''E:7456 (Mirela-Petrina Timiș)''' ''Să se arate că fracția F = \frac{23^{n+1}-4^{n+1}\cdot 19^n - 7^n \cdot 23 + 2^{2n+2}\cdot 3^n}{41^{n+1}-5^{2n}\cdot 41} se simlifică prin 16'' '''Soluție''' Pentru orice"

Andrei.Horvat: Created page with "'''E:7456 (Mirela-Petrina Timiș)''' ''Să se arate că fracția $F = \frac{23^{n+1}-4^{n+1}\cdot 19^n - 7^n \cdot 23 + 2^{2n+2}\cdot 3^n}{41^{n+1}-5^{2n}\cdot 41}$ se simlifică prin $16$ '' '''Soluție''' Pentru orice"