E:5756 - Revision history

Andrei.Horvat at 19:45, 11 December 2024

2024-12-11T19:45:03Z

← Older revision		Revision as of 19:45, 11 December 2024
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție'''		'''Soluție'''

	Din faptul că semidreapta <math>(DB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle ADC</math> și semidreapta <math>(GB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle AGC</math> se deduce că ~~{{#tag:~~math\|\left[ AG \right] \equiv \left[ CG \right].~~\|name="(1)"}}~~		Din faptul că semidreapta <math>(DB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle ADC</math> și semidreapta <math>(GB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle AGC</math> se deduce că <math display="block" id="1e5756">\left[ AG \right] \equiv \left[ CG \right].</math>
	[[File:Gm 1-1977 e-5756.png\|thumb\|left]]În triunghiul <math>FGC</math>, aplicăm [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_bisectoarei Teorema bisectoarei], pentru bisectoarea <math>(GD</math> a unghiului <math>\sphericalangle FGC</math> și obținem<math display="block" id="2e5756">\frac{CD}{DF} = \frac{GC}{GF}</math>Cum patulaterul <math>ABCD</math> este un romb, avem <math>AB \parallel BC</math>, deci [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Thales Teorema lui Thales] implică <math display="block" id="3e5756">\frac{CD}{DF}=\frac{EA}{AF}</math>Atunci avem<math display="block">\frac{EA}{AF} = \frac{GA}{GF} \Rightarrow \frac{EA}{GA} = \frac{AF}{GF}</math>Prin intermediul proporțiilor derivate se obține		[[File:Gm 1-1977 e-5756.png\|thumb\|left]]În triunghiul <math>FGC</math>, aplicăm [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_bisectoarei Teorema bisectoarei], pentru bisectoarea <math>(GD</math> a unghiului <math>\sphericalangle FGC</math> și obținem<math display="block" id="2e5756">\frac{CD}{DF} = \frac{GC}{GF}</math>Cum patulaterul <math>ABCD</math> este un romb, avem <math>AB \parallel BC</math>, deci [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Thales Teorema lui Thales] implică <math display="block" id="3e5756">\frac{CD}{DF}=\frac{EA}{AF}</math>Atunci avem<math display="block">\frac{EA}{AF} = \frac{GA}{GF} \Rightarrow \frac{EA}{GA} = \frac{AF}{GF}</math>Prin intermediul proporțiilor derivate se obține

Andrei.Horvat at 19:43, 11 December 2024

2024-12-11T19:43:57Z

← Older revision		Revision as of 19:43, 11 December 2024
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție'''		'''Soluție'''

	Din faptul că semidreapta <math>(DB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle ADC</math> și semidreapta <math>(GB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle AGC</math> se deduce că {{#tag:math\|\left[ AG \right] \equiv \left[ CG \right].}}		Din faptul că semidreapta <math>(DB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle ADC</math> și semidreapta <math>(GB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle AGC</math> se deduce că {{#tag:math\|\left[ AG \right] \equiv \left[ CG \right].\|name="(1)"}}
	[[File:Gm 1-1977 e-5756.png\|thumb\|left]]În triunghiul <math>FGC</math>, aplicăm [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_bisectoarei Teorema bisectoarei], pentru bisectoarea <math>(GD</math> a unghiului <math>\sphericalangle FGC</math> și obținem<math display="block" id="2e5756">\frac{CD}{DF} = \frac{GC}{GF}</math>Cum patulaterul <math>ABCD</math> este un romb, avem <math>AB \parallel BC</math>, deci [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Thales Teorema lui Thales] implică <math display="block" id="3e5756">\frac{CD}{DF}=\frac{EA}{AF}</math>Atunci avem<math display="block">\frac{EA}{AF} = \frac{GA}{GF} \Rightarrow \frac{EA}{GA} = \frac{AF}{GF}</math>Prin intermediul proporțiilor derivate se obține		[[File:Gm 1-1977 e-5756.png\|thumb\|left]]În triunghiul <math>FGC</math>, aplicăm [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_bisectoarei Teorema bisectoarei], pentru bisectoarea <math>(GD</math> a unghiului <math>\sphericalangle FGC</math> și obținem<math display="block" id="2e5756">\frac{CD}{DF} = \frac{GC}{GF}</math>Cum patulaterul <math>ABCD</math> este un romb, avem <math>AB \parallel BC</math>, deci [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Thales Teorema lui Thales] implică <math display="block" id="3e5756">\frac{CD}{DF}=\frac{EA}{AF}</math>Atunci avem<math display="block">\frac{EA}{AF} = \frac{GA}{GF} \Rightarrow \frac{EA}{GA} = \frac{AF}{GF}</math>Prin intermediul proporțiilor derivate se obține

Andrei.Horvat at 19:37, 11 December 2024

2024-12-11T19:37:45Z

← Older revision		Revision as of 19:37, 11 December 2024
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție'''		'''Soluție'''

	Din faptul că semidreapta <math>(DB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle ADC</math> și semidreapta <math>(GB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle AGC</math> se deduce că <math ~~display="block" id="1e5756">~~\left[ AG \right] \equiv \left[ CG \right]~~</math>~~		Din faptul că semidreapta <math>(DB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle ADC</math> și semidreapta <math>(GB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle AGC</math> se deduce că {{#tag:math\|\left[ AG \right] \equiv \left[ CG \right].}}
	[[File:Gm 1-1977 e-5756.png\|thumb\|left]]În triunghiul <math>FGC</math>, aplicăm [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_bisectoarei Teorema bisectoarei], pentru bisectoarea <math>(GD</math> a unghiului <math>\sphericalangle FGC</math> și obținem<math display="block" id="2e5756">\frac{CD}{DF} = \frac{GC}{GF}</math>Cum patulaterul <math>ABCD</math> este un romb, avem <math>AB \parallel BC</math>, deci [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Thales Teorema lui Thales] implică <math display="block" id="3e5756">\frac{CD}{DF}=\frac{EA}{AF}</math>Atunci avem<math display="block">\frac{EA}{AF} = \frac{GA}{GF} \Rightarrow \frac{EA}{GA} = \frac{AF}{GF}</math>Prin intermediul proporțiilor derivate se obține		[[File:Gm 1-1977 e-5756.png\|thumb\|left]]În triunghiul <math>FGC</math>, aplicăm [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_bisectoarei Teorema bisectoarei], pentru bisectoarea <math>(GD</math> a unghiului <math>\sphericalangle FGC</math> și obținem<math display="block" id="2e5756">\frac{CD}{DF} = \frac{GC}{GF}</math>Cum patulaterul <math>ABCD</math> este un romb, avem <math>AB \parallel BC</math>, deci [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Thales Teorema lui Thales] implică <math display="block" id="3e5756">\frac{CD}{DF}=\frac{EA}{AF}</math>Atunci avem<math display="block">\frac{EA}{AF} = \frac{GA}{GF} \Rightarrow \frac{EA}{GA} = \frac{AF}{GF}</math>Prin intermediul proporțiilor derivate se obține

Andrei.Horvat at 19:08, 11 December 2024

2024-12-11T19:08:42Z

← Older revision		Revision as of 19:08, 11 December 2024
Line 10:		Line 10:
	<math display="block">\frac{GA-AE}{GA} = \frac{GF - FA}{GF} \Rightarrow \frac{GE}{GA} = \frac{GA}{GF},</math>ceea ce revine la<math display="block">GA^2 = GE \cdot GF \Leftrightarrow GC^2 = GE \cdot GF.</math>		<math display="block">\frac{GA-AE}{GA} = \frac{GF - FA}{GF} \Rightarrow \frac{GE}{GA} = \frac{GA}{GF},</math>ceea ce revine la<math display="block">GA^2 = GE \cdot GF \Leftrightarrow GC^2 = GE \cdot GF.</math>

	Din puterea punctului <math>G</math> față de cercul determinat de punctele necoliniare		Din puterea punctului <math>G</math> față de cercul determinat de punctele necoliniare <math>E</math>, <math>C</math>, <math>F</math> rezultă că dreapta <math>GC</math> este tangentă la cercul circumscris triunghiului <math>ECF</math>.

Andrei.Horvat at 19:06, 11 December 2024

2024-12-11T19:06:46Z

← Older revision		Revision as of 19:06, 11 December 2024
Line 10:		Line 10:
	<math display="block">\frac{GA-AE}{GA} = \frac{GF - FA}{GF} \Rightarrow \frac{GE}{GA} = \frac{GA}{GF},</math>ceea ce revine la<math display="block">GA^2 = GE \cdot GF \Leftrightarrow GC^2 = GE \cdot GF.</math>		<math display="block">\frac{GA-AE}{GA} = \frac{GF - FA}{GF} \Rightarrow \frac{GE}{GA} = \frac{GA}{GF},</math>ceea ce revine la<math display="block">GA^2 = GE \cdot GF \Leftrightarrow GC^2 = GE \cdot GF.</math>

	Din puterea punctului		Din puterea punctului <math>G</math> față de cercul determinat de punctele necoliniare

Andrei.Horvat at 19:04, 11 December 2024

2024-12-11T19:04:49Z

← Older revision		Revision as of 19:04, 11 December 2024
Line 8:		Line 8:
	[[File:Gm 1-1977 e-5756.png\|thumb\|left]]În triunghiul <math>FGC</math>, aplicăm [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_bisectoarei Teorema bisectoarei], pentru bisectoarea <math>(GD</math> a unghiului <math>\sphericalangle FGC</math> și obținem<math display="block" id="2e5756">\frac{CD}{DF} = \frac{GC}{GF}</math>Cum patulaterul <math>ABCD</math> este un romb, avem <math>AB \parallel BC</math>, deci [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Thales Teorema lui Thales] implică <math display="block" id="3e5756">\frac{CD}{DF}=\frac{EA}{AF}</math>Atunci avem<math display="block">\frac{EA}{AF} = \frac{GA}{GF} \Rightarrow \frac{EA}{GA} = \frac{AF}{GF}</math>Prin intermediul proporțiilor derivate se obține		[[File:Gm 1-1977 e-5756.png\|thumb\|left]]În triunghiul <math>FGC</math>, aplicăm [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_bisectoarei Teorema bisectoarei], pentru bisectoarea <math>(GD</math> a unghiului <math>\sphericalangle FGC</math> și obținem<math display="block" id="2e5756">\frac{CD}{DF} = \frac{GC}{GF}</math>Cum patulaterul <math>ABCD</math> este un romb, avem <math>AB \parallel BC</math>, deci [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Thales Teorema lui Thales] implică <math display="block" id="3e5756">\frac{CD}{DF}=\frac{EA}{AF}</math>Atunci avem<math display="block">\frac{EA}{AF} = \frac{GA}{GF} \Rightarrow \frac{EA}{GA} = \frac{AF}{GF}</math>Prin intermediul proporțiilor derivate se obține

	<math display="block">\frac{GA-AE}{GA} = \frac{GF - FA}{GF} \Rightarrow \frac{GE}{GA} = \frac{GA}{GF}</math>ceea ce revine la<math display="block">GA^2 = GE \cdot GF \Leftrightarrow GC^2 = GE \cdot GF</math>		<math display="block">\frac{GA-AE}{GA} = \frac{GF - FA}{GF} \Rightarrow \frac{GE}{GA} = \frac{GA}{GF},</math>ceea ce revine la<math display="block">GA^2 = GE \cdot GF \Leftrightarrow GC^2 = GE \cdot GF.</math>

			Din puterea punctului

Andrei.Horvat at 19:04, 11 December 2024

2024-12-11T19:04:08Z

← Older revision		Revision as of 19:04, 11 December 2024
Line 6:		Line 6:

	Din faptul că semidreapta <math>(DB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle ADC</math> și semidreapta <math>(GB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle AGC</math> se deduce că <math display="block" id="1e5756">\left[ AG \right] \equiv \left[ CG \right]</math>		Din faptul că semidreapta <math>(DB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle ADC</math> și semidreapta <math>(GB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle AGC</math> se deduce că <math display="block" id="1e5756">\left[ AG \right] \equiv \left[ CG \right]</math>
	[[File:Gm 1-1977 e-5756.png\|thumb\|left]]În triunghiul <math>FGC</math>, aplicăm [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_bisectoarei Teorema bisectoarei], pentru bisectoarea <math>(GD</math> a unghiului <math>\sphericalangle FGC</math> și obținem<math display="block" id="2e5756">\frac{CD}{DF} = \frac{GC}{GF}</math>Cum patulaterul <math>ABCD</math> este un romb, avem <math>AB \parallel BC</math>, deci [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Thales Teorema lui Thales] implică <math display="block" id="3e5756">\frac{CD}{DF}=\frac{EA}{AF}</math>Atunci avem		[[File:Gm 1-1977 e-5756.png\|thumb\|left]]În triunghiul <math>FGC</math>, aplicăm [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_bisectoarei Teorema bisectoarei], pentru bisectoarea <math>(GD</math> a unghiului <math>\sphericalangle FGC</math> și obținem<math display="block" id="2e5756">\frac{CD}{DF} = \frac{GC}{GF}</math>Cum patulaterul <math>ABCD</math> este un romb, avem <math>AB \parallel BC</math>, deci [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Thales Teorema lui Thales] implică <math display="block" id="3e5756">\frac{CD}{DF}=\frac{EA}{AF}</math>Atunci avem<math display="block">\frac{EA}{AF} = \frac{GA}{GF} \Rightarrow \frac{EA}{GA} = \frac{AF}{GF}</math>Prin intermediul proporțiilor derivate se obține

			<math display="block">\frac{GA-AE}{GA} = \frac{GF - FA}{GF} \Rightarrow \frac{GE}{GA} = \frac{GA}{GF}</math>ceea ce revine la<math display="block">GA^2 = GE \cdot GF \Leftrightarrow GC^2 = GE \cdot GF</math>

Andrei.Horvat at 05:03, 10 December 2024

2024-12-10T05:03:43Z

← Older revision		Revision as of 05:03, 10 December 2024
Line 2:		Line 2:

	''Fie <math>ABCD</math> un romb. Prin vârful <math>A</math> ducem o dreaptă arbitrară care intersectează pe <math>BC</math> în <math>E</math>, pe <math>DC</math> în <math>F</math>, iar pe diagonala <math>BD</math> în <math>G</math>. Să se arate că dreapta <math>CG</math> este tangentă în <math>C</math> cercului circumscris triunghiului <math>ECF</math>.''		''Fie <math>ABCD</math> un romb. Prin vârful <math>A</math> ducem o dreaptă arbitrară care intersectează pe <math>BC</math> în <math>E</math>, pe <math>DC</math> în <math>F</math>, iar pe diagonala <math>BD</math> în <math>G</math>. Să se arate că dreapta <math>CG</math> este tangentă în <math>C</math> cercului circumscris triunghiului <math>ECF</math>.''

			'''Soluție'''

			Din faptul că semidreapta <math>(DB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle ADC</math> și semidreapta <math>(GB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle AGC</math> se deduce că <math display="block" id="1e5756">\left[ AG \right] \equiv \left[ CG \right]</math>
			[[File:Gm 1-1977 e-5756.png\|thumb\|left]]În triunghiul <math>FGC</math>, aplicăm [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_bisectoarei Teorema bisectoarei], pentru bisectoarea <math>(GD</math> a unghiului <math>\sphericalangle FGC</math> și obținem<math display="block" id="2e5756">\frac{CD}{DF} = \frac{GC}{GF}</math>Cum patulaterul <math>ABCD</math> este un romb, avem <math>AB \parallel BC</math>, deci [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Thales Teorema lui Thales] implică <math display="block" id="3e5756">\frac{CD}{DF}=\frac{EA}{AF}</math>Atunci avem

Andrei.Horvat: Created page with "'''E:5756 (Dumitru Acu)''' ''Fie $ABCD$ un romb. Prin vârful $A$ ducem o dreaptă arbitrară care intersectează pe $BC$ în $E$ , pe $DC$ în $F$ , iar pe diagonala $BD$ în $G$ . Să se arate că dreapta $CG$ este tangentă în $C$ cercului circumscris triunghiului $ECF$ .''"

2024-12-10T04:43:31Z

Created page with "'''E:5756 (Dumitru Acu)''' ''Fie <math>ABCD</math> un romb. Prin vârful <math>A</math> ducem o dreaptă arbitrară care intersectează pe <math>BC</math> în <math>E</math>, pe <math>DC</math> în <math>F</math>, iar pe diagonala <math>BD</math> în <math>G</math>. Să se arate că dreapta <math>CG</math> este tangentă în <math>C</math> cercului circumscris triunghiului <math>ECF</math>.''"

New page

'''E:5756 (Dumitru Acu)'''

''Fie <math>ABCD</math> un romb. Prin vârful <math>A</math> ducem o dreaptă arbitrară care intersectează pe <math>BC</math> în <math>E</math>, pe <math>DC</math> în <math>F</math>, iar pe diagonala <math>BD</math> în <math>G</math>. Să se arate că dreapta <math>CG</math> este tangentă în <math>C</math> cercului circumscris triunghiului <math>ECF</math>.''

E:5756 - Revision history

Andrei.Horvat at 19:45, 11 December 2024

Andrei.Horvat at 19:43, 11 December 2024

Andrei.Horvat at 19:37, 11 December 2024

Andrei.Horvat at 19:08, 11 December 2024

Andrei.Horvat at 19:06, 11 December 2024

Andrei.Horvat at 19:04, 11 December 2024

Andrei.Horvat at 19:04, 11 December 2024

Andrei.Horvat at 05:03, 10 December 2024

Andrei.Horvat: Created page with "'''E:5756 (Dumitru Acu)''' ''Fie ABCD un romb. Prin vârful A ducem o dreaptă arbitrară care intersectează pe BC în E, pe DC în F, iar pe diagonala BD în G. Să se arate că dreapta CG este tangentă în C cercului circumscris triunghiului ECF.''"