E:26460 - Revision history

Andrei.Horvat at 12:42, 19 January 2025

2025-01-19T12:42:56Z

← Older revision		Revision as of 12:42, 19 January 2025
Line 1:		Line 1:
	'''26460 (Nicolae Mușuroia~~, Baia Mare~~)'''		'''26460 (Nicolae Mușuroia)'''

	''Să se arate că dacă <math>a, b, c</math> sunt numere reale strict pozitive cu <math>a + b + c = abc</math>, atunci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq 64</math>.''		''Să se arate că dacă <math>a, b, c</math> sunt numere reale strict pozitive cu <math>a + b + c = abc</math>, atunci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq 64</math>.''

Andrei.Horvat at 12:42, 19 January 2025

2025-01-19T12:42:41Z

← Older revision		Revision as of 12:42, 19 January 2025
Line 1:		Line 1:
	'''~~Problema~~ 26460 (Nicolae Mușuroia, Baia Mare)'''		'''26460 (Nicolae Mușuroia, Baia Mare)'''

	''Să se arate că dacă a, b, c sunt numere reale strict pozitive cu <math>a + b + c = abc</math>, atunci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq 64</math>.''		''Să se arate că dacă <math>a, b, c</math> sunt numere reale strict pozitive cu <math>a + b + c = abc</math>, atunci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq 64</math>.''

	'''Soluție.'''		'''Soluție.'''

Andrei.Horvat at 12:42, 19 January 2025

2025-01-19T12:42:01Z

← Older revision		Revision as of 12:42, 19 January 2025
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție.'''		'''Soluție.'''

	Relația <math>a + b + c = abc</math> se scrie <math>\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} = 1</math>. Avem:		Relația <math>a + b + c = abc</math> se scrie <math>\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} = 1</math>. Avem<math display="block">
	<math>
	1 + a^2 = a^2 \left( 1 + \frac{1}{a^2} \right) = a^2 \left( \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2} \right) =		1 + a^2 = a^2 \left( 1 + \frac{1}{a^2} \right) = a^2 \left( \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2} \right) =
	</math>		</math><math display="block">
	<math>		= a^2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{c} \right) = \frac{(a + b)(a + c)}{bc} \geq \frac{4a}{\sqrt{bc}}.
	= a^2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = \frac{(a + b)(a + c)}~~{\sqrt~~{bc}} \geq \frac{4a}{\sqrt{bc}}.		</math>Deci <math display="block">(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq \frac{4a}{\sqrt{bc}} \cdot \frac{4b}{\sqrt{ac}} \cdot \frac{4c}{\sqrt{ab}} = 64.</math>
	</math>

	Deci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq \frac{4a}{\sqrt{bc}} \cdot \frac{4b}{\sqrt{ac}} \cdot \frac{4c}{\sqrt{ab}} = 64</math>.

Ionut: Created page with "'''Problema 26460 (Nicolae Mușuroia, Baia Mare)''' ''Să se arate că dacă a, b, c sunt numere reale strict pozitive cu $a + b + c = abc$ , atunci $(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq 64$ .'' '''Soluție.''' Relația $a + b + c = abc$ se scrie $\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} = 1$ . Avem: $1 + a^2 = a^2 \left( 1 + \frac{1}{a^2} \right) = a^2 \left( \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2} \righ..."$

2025-01-16T12:39:53Z

Created page with "'''Problema 26460 (Nicolae Mușuroia, Baia Mare)''' ''Să se arate că dacă a, b, c sunt numere reale strict pozitive cu <math>a + b + c = abc</math>, atunci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq 64</math>.'' '''Soluție.''' Relația <math>a + b + c = abc</math> se scrie <math>\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} = 1</math>. Avem: <math> 1 + a^2 = a^2 \left( 1 + \frac{1}{a^2} \right) = a^2 \left( \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2} \righ..."

New page

'''Problema 26460 (Nicolae Mușuroia, Baia Mare)'''

''Să se arate că dacă a, b, c sunt numere reale strict pozitive cu <math>a + b + c = abc</math>, atunci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq 64</math>.''

'''Soluție.'''

Relația <math>a + b + c = abc</math> se scrie <math>\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} = 1</math>. Avem:
<math>
1 + a^2 = a^2 \left( 1 + \frac{1}{a^2} \right) = a^2 \left( \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2} \right) =
</math>
<math>
= a^2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = \frac{(a + b)(a + c)}{\sqrt{bc}} \geq \frac{4a}{\sqrt{bc}}.
</math>

Deci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq \frac{4a}{\sqrt{bc}} \cdot \frac{4b}{\sqrt{ac}} \cdot \frac{4c}{\sqrt{ab}} = 64</math>.