E:16910 - Revision history

Andrei.Horvat at 17:28, 20 August 2025

2025-08-20T17:28:51Z

← Older revision		Revision as of 17:28, 20 August 2025
Line 12:		Line 12:
	\end{cases}</math> și <math display="block">\begin{cases}		\end{cases}</math> și <math display="block">\begin{cases}
	x^2+2y^2-2xy = 146 \\ x^2 + 2y^2 +2xy = 26.		x^2+2y^2-2xy = 146 \\ x^2 + 2y^2 +2xy = 26.
	\end{cases}</math>Se obțin soluțiile <math display="block">\left(x,y\right)\in \left\{ ~~</nowiki>~~		\end{cases}</math>Se obțin soluțiile <math display="block">\left(x,y\right)\in \left\{ \left(\pm 6,-5\right), \, \left(\pm 6, 5\right)\right\}.</math>
	\left(\pm 6,-5\right), \, \left(\pm 6, 5\right)\right\}.</math>

Andrei.Horvat at 17:28, 20 August 2025

2025-08-20T17:28:10Z

← Older revision		Revision as of 17:28, 20 August 2025
Line 12:		Line 12:
	\end{cases}</math> și <math display="block">\begin{cases}		\end{cases}</math> și <math display="block">\begin{cases}
	x^2+2y^2-2xy = 146 \\ x^2 + 2y^2 +2xy = 26.		x^2+2y^2-2xy = 146 \\ x^2 + 2y^2 +2xy = 26.
	\end{cases}</math>Se obțin soluțiile ~~<nowiki>~~<math>\left(x,y\right)\in \left\{ </nowiki>		\end{cases}</math>Se obțin soluțiile <math display="block">\left(x,y\right)\in \left\{ </nowiki>
	\left(\pm 6,-5\right), \, \left(\pm 6, 5\right)		\left(\pm 6,-5\right), \, \left(\pm 6, 5\right)\right\}.</math>
	\right\}<.math>

Andrei.Horvat at 17:27, 20 August 2025

2025-08-20T17:27:18Z

← Older revision		Revision as of 17:27, 20 August 2025
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție'''		'''Soluție'''

	Cum <math>x^4 + 4y^4 = \left(x^2+2y^2\right)^2 - 4x^2y^2 = \left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right)</math>, ecuația dată revine la <math>\left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right) = 3796</math>		Cum <math display="block">x^4 + 4y^4 = \left(x^2+2y^2\right)^2 - 4x^2y^2 = \left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right),</math>ecuația dată revine la <math display="block">\left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right) = 3796.</math>Din <math>2y^2-2xy\, \vdots \, 2</math> și <math>2y^2+2xy\, \vdots \, 2</math> se deduce că expresiile pozitive <math>x^2 + 2y^2-2xy</math> și <math>x^2 +2y^2 +2xy</math> au aceeași paritate.

	~~Din <math>2y^2-2xy\, \vdots \, 2</math> și <math>2y^2+2xy\, \vdots \, 2</math> se deduce că expresiile pozitive <math>x^2 + 2y^2-2xy</math> și <math>x^2 +2y^2 +2xy</math> au aceeași paritate.~~ Cum <math>3796 = 2^2 \cdot 13\cdot 73</math>, sunt posibile situațiile		Cum <math>3796 = 2^2 \cdot 13\cdot 73</math>, sunt posibile situațiile
	<math>\begin{cases}		<math display="block">\begin{cases}
	x^2+2y^2-2xy = 26 \\ x^2 + 2y^2 +2xy = 146		x^2+2y^2-2xy = 26 \\ x^2 + 2y^2 +2xy = 146
	\end{cases}</math> și <math>\begin{cases}		\end{cases}</math> și <math display="block">\begin{cases}
	x^2+2y^2-2xy = 146 \\ x^2 + 2y^2 +2xy = 26		x^2+2y^2-2xy = 146 \\ x^2 + 2y^2 +2xy = 26.
	\end{cases}</math>.		\end{cases}</math>Se obțin soluțiile <nowiki><math>\left(x,y\right)\in \left\{ </nowiki>

	Se obțin soluțiile <math>\left(x,y\right)\in \left\{
	\left(\pm 6,-5\right), \, \left(\pm 6, 5\right)		\left(\pm 6,-5\right), \, \left(\pm 6, 5\right)
	\right\}<.math>		\right\}<.math>

Andrei.Horvat: Created page with "'''E:16910 (Teodora Zetea & Bogdan Zetea)''' ''Aflați soluțiile întregi ale ecuației $x^4 + 4y^4 = 3796.$ '' '''Soluție''' Cum $x^4 + 4y^4 = \left(x^2+2y^2\right)^2 - 4x^2y^2 = \left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right)$ , ecuația dată revine la $\left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right) = 3796$ Din $2y^2-2xy\, \vdots \, 2$ și $2y^2+2xy\, \vdots \, 2$ se deduce că expresiile pozi..."

2025-08-20T17:25:53Z

Created page with "'''E:16910 (Teodora Zetea & Bogdan Zetea)''' ''Aflați soluțiile întregi ale ecuației <math>x^4 + 4y^4 = 3796.</math>'' '''Soluție''' Cum <math>x^4 + 4y^4 = \left(x^2+2y^2\right)^2 - 4x^2y^2 = \left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right)</math>, ecuația dată revine la <math>\left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right) = 3796</math> Din <math>2y^2-2xy\, \vdots \, 2</math> și <math>2y^2+2xy\, \vdots \, 2</math> se deduce că expresiile pozi..."

New page

'''[[E:16910]] (Teodora Zetea & Bogdan Zetea)'''

''Aflați soluțiile întregi ale ecuației <math>x^4 + 4y^4 = 3796.</math>''

'''Soluție'''

Cum <math>x^4 + 4y^4 = \left(x^2+2y^2\right)^2 - 4x^2y^2 = \left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right)</math>, ecuația dată revine la <math>\left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right) = 3796</math>

Din <math>2y^2-2xy\, \vdots \, 2</math> și <math>2y^2+2xy\, \vdots \, 2</math> se deduce că expresiile pozitive <math>x^2 + 2y^2-2xy</math> și <math>x^2 +2y^2 +2xy</math> au aceeași paritate. Cum <math>3796 = 2^2 \cdot 13\cdot 73</math>, sunt posibile situațiile
<math>\begin{cases}
x^2+2y^2-2xy = 26 \\ x^2 + 2y^2 +2xy = 146
\end{cases}</math> și <math>\begin{cases}
x^2+2y^2-2xy = 146 \\ x^2 + 2y^2 +2xy = 26
\end{cases}</math>.

Se obțin soluțiile <math>\left(x,y\right)\in \left\{
\left(\pm 6,-5\right), \, \left(\pm 6, 5\right)
\right\}<.math>