E:16902 - Revision history

Andrei.Horvat at 15:18, 20 August 2025

2025-08-20T15:18:47Z

← Older revision		Revision as of 15:18, 20 August 2025
Line 7:		Line 7:

	Avem echivalenţele		Avem echivalenţele
	<math>\frac{1}{x+4} + \frac{1}{y+4} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3y+12+3x+12 \le xy+4x+4y+16 \Leftrightarrow x+y\ge 8-xy.</math> Cum <math>xy=4</math>, rezultă <math>x+y \ge 4</math>. Au loc echivalenţele <math>x+y \ge 4 \Leftrightarrow \frac{x+y}{2} \ge 2=\sqrt{4}\Leftrightarrow \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy},</math> inegalitate care are loc pentru orice numere reale pozitive <math>x</math>, <math>y</math>.		<math display="block">\frac{1}{x+4} + \frac{1}{y+4} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3y+12+3x+12 \le xy+4x+4y+16 \Leftrightarrow x+y\ge 8-xy.</math> Cum <math>xy=4</math>, rezultă <math>x+y \ge 4</math>. Au loc echivalenţele <math display="block">x+y \ge 4 \Leftrightarrow \frac{x+y}{2} \ge 2=\sqrt{4}\Leftrightarrow \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy},</math> inegalitate care are loc pentru orice numere reale pozitive <math>x</math>, <math>y</math>.

	Cazul de egalitate are loc pentru <math>x=y =2</math>.		Cazul de egalitate are loc pentru <math>x=y =2</math>.

Andrei.Horvat at 15:18, 20 August 2025

2025-08-20T15:18:11Z

← Older revision		Revision as of 15:18, 20 August 2025
Line 7:		Line 7:

	Avem echivalenţele		Avem echivalenţele
	<math>\frac{1}{x+4} + \frac{1}{y+4} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3y+12+3x+12 \le xy+4x+4y+16 \Leftrightarrow x+y\ge 8-xy./<math> Cum <math>xy=4</math>, rezultă <math>x+y \ge 4</math>. Au loc echivalenţele <math>x+y \ge 4 \Leftrightarrow \frac{x+y}{2} \ge 2=\sqrt{4}\Leftrightarrow \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy},</math> inegalitate care are loc pentru orice numere reale pozitive <math>x</math>, <math>y</math>.		<math>\frac{1}{x+4} + \frac{1}{y+4} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3y+12+3x+12 \le xy+4x+4y+16 \Leftrightarrow x+y\ge 8-xy.</math> Cum <math>xy=4</math>, rezultă <math>x+y \ge 4</math>. Au loc echivalenţele <math>x+y \ge 4 \Leftrightarrow \frac{x+y}{2} \ge 2=\sqrt{4}\Leftrightarrow \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy},</math> inegalitate care are loc pentru orice numere reale pozitive <math>x</math>, <math>y</math>.

	Cazul de egalitate are loc pentru <math>x=y =2</math>.		Cazul de egalitate are loc pentru <math>x=y =2</math>.

Andrei.Horvat: Created page with "'''E:16902 (Melania-Iulia Dobrican)''' ''Fie numerele reale pozitive $x$ , $y$ , cu $xy=4$ . Arătaţi că $\frac{1}{x+4} + \frac{1}{y+4} \le \frac{1}{3}.$ '' '''Soluție''' Avem echivalenţele $\frac{1}{x+4} + \frac{1}{y+4} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3y+12+3x+12 \le xy+4x+4y+16 \Leftrightarrow x+y\ge 8-xy./ Cum xy=4, rezultă x+y \ge 4 . Au loc echivalenţele x+y \ge 4 \Leftri..."$

2025-08-20T15:17:29Z

Created page with "'''E:16902 (Melania-Iulia Dobrican)''' ''Fie numerele reale pozitive <math>x</math>, <math>y</math>, cu <math>xy=4</math>. Arătaţi că <math>\frac{1}{x+4} + \frac{1}{y+4} \le \frac{1}{3}.</math> '' '''Soluție''' Avem echivalenţele <math>\frac{1}{x+4} + \frac{1}{y+4} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3y+12+3x+12 \le xy+4x+4y+16 \Leftrightarrow x+y\ge 8-xy./<math> Cum <math>xy=4</math>, rezultă <math>x+y \ge 4</math>. Au loc echivalenţele <math>x+y \ge 4 \Leftri..."

New page

'''[[E:16902]] (Melania-Iulia Dobrican)'''

''Fie numerele reale pozitive <math>x</math>, <math>y</math>, cu <math>xy=4</math>. Arătaţi că <math>\frac{1}{x+4} + \frac{1}{y+4} \le \frac{1}{3}.</math>
''

'''Soluție'''

Avem echivalenţele
<math>\frac{1}{x+4} + \frac{1}{y+4} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3y+12+3x+12 \le xy+4x+4y+16 \Leftrightarrow x+y\ge 8-xy./<math> Cum <math>xy=4</math>, rezultă <math>x+y \ge 4</math>. Au loc echivalenţele <math>x+y \ge 4 \Leftrightarrow \frac{x+y}{2} \ge 2=\sqrt{4}\Leftrightarrow \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy},</math> inegalitate care are loc pentru orice numere reale pozitive <math>x</math>, <math>y</math>.

Cazul de egalitate are loc pentru <math>x=y =2</math>.