E:16899 - Revision history

Andrei.Horvat at 16:20, 19 August 2025

2025-08-19T16:20:57Z

Andrei.Horvat at 15:15, 19 August 2025

2025-08-19T15:15:59Z

Andrei.Horvat at 15:13, 19 August 2025

2025-08-19T15:13:05Z

Andrei.Horvat at 15:08, 19 August 2025

2025-08-19T15:08:12Z

Andrei.Horvat at 15:06, 19 August 2025

2025-08-19T15:06:42Z

Andrei.Horvat: Created page with "'''E:16899 (Angela Lopată)''' ''Fie $ABC$ un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii $AB$ pe dreapta $BC$ este mai mare decât lungimea segmentului $\left[AC\right]$ . considerăm punctele $M$ , $N$ pe laturile $\left(BC\right)$ , respectiv $\left(AC\right)$ astfel încât $BM = CN$ . Fie punctul $P$ astfel încât $NM = MP$ , punctele
2025-08-19T15:05:51Z

Created page with "'''E:16899 (Angela Lopată)''' ''Fie <math>ABC</math> un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii <math>AB</math> pe dreapta <math>BC</math> este mai mare decât lungimea segmentului <math>\left[AC\right]</math>. considerăm punctele <math>M</math>, <math>N</math> pe laturile <math>\left(BC\right)</math>, respectiv <math>\left(AC\right)</math> astfel încât <math>BM = CN</math>. Fie punctul <math>P</math> astfel încât <math>NM = MP</math>, punctele <math..."

New page
'''[[E:16899]] (Angela Lopată)'''

''Fie <math>ABC</math> un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii <math>AB</math> pe dreapta <math>BC</math> este mai mare decât lungimea segmentului <math>\left[AC\right]</math>. considerăm punctele <math>M</math>, <math>N</math> pe laturile <math>\left(BC\right)</math>, respectiv <math>\left(AC\right)</math> astfel încât <math>BM = CN</math>. Fie punctul <math>P</math> astfel încât <math>NM = MP</math>, punctele <math>N</math> și <math>P</math> sunt de aceeași parte a dreptei <math>BC</math>, iar distanţa de la punctul <math>P</math> la dreapta <math>BC</math> este aceeași cu distanţa de la punctul <math>M</math> la dreapta <math>AC</math>. Arătaţi că <math>\sphericalangle NMP = \sphericalangle PBM = \sphericalangle MCA</math>.''

'''Soluție'''

Din <math>\begin{cases}
PM = MN \\ PP_1 = MM_1 \\ \sphericalangle P_1 = \sphericalangle M_1 = 90^\circ
\end{cases}<\math>, conform cazului de congruenţă C.I., rezultă <math>\Delta PP_1M \equiv \Delta MM_1N</math>, deci <math>\sphericalangle PMB = \sphericalangle MNC</math>.

Din <math>\begin{cases}
PM = MN \\ MB = NC \\ \sphericalangle PMB = \sphericalangle MNC
\end{cases}</math>, conform cazului de congruenţă L.U.L., rezultă <math>\Delta PMB \equiv \Delta MNC</math>, deci <math>\sphericalangle PBC = \sphericalangle MCN</math>.

Cum punctele <math>B</math>, <math>M</math> și <math>C</math> sunt colinare, avem
<math>\sphericalangle BMP + \sphericalangle PMN + \sphericalangle NMC = 180^\circ.
</math> în triunghiul <math>\Delta CMN</math> avem <math>\sphericalangle CNM + \sphericalangle NMC + \sphericalangle MCN = 180^\circ.
</math> Din \eqref{ang1} și \eqref{ang2} și <math>\sphericalangle PMB = \sphericalangle MNC</math> se deduce <math>\sphericalangle PMN = \sphericalangle MCN</math>.

în concluzie, <math>\sphericalangle NMP = \sphericalangle PBM = \sphericalangle MCA</math>.