E:16893 - Revision history

Andrei.Horvat at 13:13, 20 September 2025

2025-09-20T13:13:39Z

← Older revision		Revision as of 13:13, 20 September 2025
Line 9:		Line 9:
	Dacă <math>n</math> este impar, atunci numerele <math>7n-1</math> și <math>17n-1</math> sunt pare, deci nu pot fi prime, ceea ce implică faptul că <math>2 \|\, n</math>.		Dacă <math>n</math> este impar, atunci numerele <math>7n-1</math> și <math>17n-1</math> sunt pare, deci nu pot fi prime, ceea ce implică faptul că <math>2 \|\, n</math>.

	Dacă există <math>k\in \mathbb{N}</math> astfel încât <math>n = 3k+1</math>, atunci numărul <math>7n-1</math> nu este prim, căci <math>7n-1 = 7\left(3k+1\right)-1 = 3\left(7k+2\right) \vdots \, 3 </math>		Dacă există <math>k\in \mathbb{N}</math> astfel încât <math>n = 3k+1</math>, atunci numărul <math>7n-1</math> nu este prim, căci <math display="block">7n-1 = 7\left(3k+1\right)-1 = 3\left(7k+2\right) \vdots \, 3 </math>

	Dacă există <math>k\in \mathbb{N}</math> astfel încât <math>n = 3k+2</math>, atunci numărul <math>17n-1</math> nu este prim, căci <math~~><math~~>17n-1 = 17\left(3k+2\right)-1 = 3\left(17k+11\right) \vdots \, 3. </math>		Dacă există <math>k\in \mathbb{N}</math> astfel încât <math>n = 3k+2</math>, atunci numărul <math>17n-1</math> nu este prim, căci <math display="block">17n-1 = 17\left(3k+2\right)-1 = 3\left(17k+11\right) \vdots \, 3. </math>Cum <math>n</math> trebuie să fie un număr par care este și multiplu al lui <math>3</math>, deducem că <math>6 \|\, n</math>.

	Cum <math>n</math> trebuie să fie un număr par care este și multiplu al lui <math>3</math>, deducem că <math>6 \|\, n</math>.

	Observație. Perechi <math>\left(7n-1, 17n-1\right)</math> formate din numere prime se obține pentru <math>n=6</math>, <math>n=60</math>, <math>n=120</math>, <math>n=300</math>.		Observație. Perechi <math>\left(7n-1, 17n-1\right)</math> formate din numere prime se obține pentru <math>n=6</math>, <math>n=60</math>, <math>n=120</math>, <math>n=300</math>.

Andrei.Horvat at 13:12, 20 September 2025

2025-09-20T13:12:41Z

← Older revision		Revision as of 13:12, 20 September 2025
Line 13:		Line 13:
	Dacă există <math>k\in \mathbb{N}</math> astfel încât <math>n = 3k+2</math>, atunci numărul <math>17n-1</math> nu este prim, căci <math><math>17n-1 = 17\left(3k+2\right)-1 = 3\left(17k+11\right) \vdots \, 3. </math>		Dacă există <math>k\in \mathbb{N}</math> astfel încât <math>n = 3k+2</math>, atunci numărul <math>17n-1</math> nu este prim, căci <math><math>17n-1 = 17\left(3k+2\right)-1 = 3\left(17k+11\right) \vdots \, 3. </math>

	Cum <math>n</math> trebuie să fie un număr par care este și multiplu al lui <math>3</math>, deducem că <math>6 \|\, n<math>.		Cum <math>n</math> trebuie să fie un număr par care este și multiplu al lui <math>3</math>, deducem că <math>6 \|\, n</math>.

	Observație. Perechi <math>\left(7n-1, 17n-1\right)</math> formate din numere prime se obține pentru <math>n=6</math>, <math>n=60</math>, <math>n=120</math>, <math>n=300</math>.		Observație. Perechi <math>\left(7n-1, 17n-1\right)</math> formate din numere prime se obține pentru <math>n=6</math>, <math>n=60</math>, <math>n=120</math>, <math>n=300</math>.

Andrei.Horvat: Created page with "'''E:16893 (Traian Covaciu)''' ''Arătați că numerele $7n-1$ și $17n-1$ sunt simultan prime doar dacă $n$ este un multiplu natural al lui $6$ .'' '''Soluție''' Pentru $n=6$ se obțin numerele prime $42$ și $101$ . Dacă $n$ este impar, atunci numerele $7n-1$ și $17n-1$ sunt pare, deci nu pot fi prime, ceea ce implică faptul că $2 |\, n$ ...."

2025-09-20T13:12:15Z

Created page with "'''E:16893 (Traian Covaciu)''' ''Arătați că numerele <math>7n-1</math> și <math>17n-1</math> sunt simultan prime doar dacă <math>n</math> este un multiplu natural al lui <math>6</math>.'' '''Soluție''' Pentru <math>n=6</math> se obțin numerele prime <math>42</math> și <math>101</math>. Dacă <math>n</math> este impar, atunci numerele <math>7n-1</math> și <math>17n-1</math> sunt pare, deci nu pot fi prime, ceea ce implică faptul că <math>2 |\, n</math>...."

New page

'''[[E:16893]] (Traian Covaciu)'''

''Arătați că numerele <math>7n-1</math> și <math>17n-1</math> sunt simultan prime doar dacă <math>n</math> este un multiplu natural al lui <math>6</math>.''

'''Soluție'''

Pentru <math>n=6</math> se obțin numerele prime <math>42</math> și <math>101</math>.

Dacă <math>n</math> este impar, atunci numerele <math>7n-1</math> și <math>17n-1</math> sunt pare, deci nu pot fi prime, ceea ce implică faptul că <math>2 |\, n</math>.

Dacă există <math>k\in \mathbb{N}</math> astfel încât <math>n = 3k+1</math>, atunci numărul <math>7n-1</math> nu este prim, căci <math>7n-1 = 7\left(3k+1\right)-1 = 3\left(7k+2\right) \vdots \, 3 </math>

Dacă există <math>k\in \mathbb{N}</math> astfel încât <math>n = 3k+2</math>, atunci numărul <math>17n-1</math> nu este prim, căci <math><math>17n-1 = 17\left(3k+2\right)-1 = 3\left(17k+11\right) \vdots \, 3. </math>

Cum <math>n</math> trebuie să fie un număr par care este și multiplu al lui <math>3</math>, deducem că <math>6 |\, n<math>.

Observație. Perechi <math>\left(7n-1, 17n-1\right)</math> formate din numere prime se obține pentru <math>n=6</math>, <math>n=60</math>, <math>n=120</math>, <math>n=300</math>.