Andrei.Horvat at 12:59, 20 September 2025

2025-09-20T12:59:09Z

← Older revision		Revision as of 12:59, 20 September 2025
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție'''		'''Soluție'''

	''Deoarece <math>3p^4 - 5q^4=2\left(13+2r^2\right)</math> este număr par, deducem că numerele prime <math>p</math> și <math>q</math> au aceeași paritate, deci sunt impare.		Deoarece <math>3p^4 - 5q^4=2\left(13+2r^2\right)</math> este număr par, deducem că numerele prime <math>p</math> și <math>q</math> au aceeași paritate, deci sunt impare.

	Cum <math>3p^4 - 5q^4>26>0</math>, avem <math>3p^3>5q^4</math>, deci <math>p>q</math>. Atunci <math>p\ge 5</math>.		Cum <math>3p^4 - 5q^4>26>0</math>, avem <math>3p^3>5q^4</math>, deci <math>p>q</math>. Atunci <math>p\ge 5</math>.

Andrei.Horvat: Created page with "'''E:16891 (Sever Pop)''' ''Determinați numerele prime $p$ , $q$ , $r$ , distincte două câte două, pentru care are loc egalitatea $3p^4 - 5q^4 - 4r^2 = 26$ .'' '''Soluție''' ''Deoarece $3p^4 - 5q^4=2\left(13+2r^2\right)$ este număr par, deducem că numerele prime $p$ și $q$ au aceeași paritate, deci sunt impare. Cum $3p^4 - 5q^4>26>0$ , avem $3p^3>5q^4$ , deci
2025-09-20T12:58:44Z

Created page with "'''E:16891 (Sever Pop)''' ''Determinați numerele prime <math>p</math>, <math>q</math>, <math>r</math>, distincte două câte două, pentru care are loc egalitatea <math>3p^4 - 5q^4 - 4r^2 = 26</math>.'' '''Soluție''' ''Deoarece <math>3p^4 - 5q^4=2\left(13+2r^2\right)</math> este număr par, deducem că numerele prime <math>p</math> și <math>q</math> au aceeași paritate, deci sunt impare. Cum <math>3p^4 - 5q^4>26>0</math>, avem <math>3p^3>5q^4</math>, deci <ma..."

New page
'''[[E:16891]] (Sever Pop)'''

''Determinați numerele prime <math>p</math>, <math>q</math>, <math>r</math>, distincte două câte două, pentru care are loc egalitatea <math>3p^4 - 5q^4 - 4r^2 = 26</math>.''

'''Soluție'''

''Deoarece <math>3p^4 - 5q^4=2\left(13+2r^2\right)</math> este număr par, deducem că numerele prime <math>p</math> și <math>q</math> au aceeași paritate, deci sunt impare.

Cum <math>3p^4 - 5q^4>26>0</math>, avem <math>3p^3>5q^4</math>, deci <math>p>q</math>. Atunci <math>p\ge 5</math>.

Pentru <math>p=5</math>, avem <math>q=3</math> și se obține <math>3\cdot 5^4 - 3 \cdot 3^4 -4r^2 = 26</math>. Rezultă <math>r=19</math>.

Pentru orice număr prim <math>p>5</math> avem <math>u\left(p^4\right) =1</math>, deci <math>u\left(2p^4+1\right) =3 </math>, unde prin <math>u\left(n\right)</math> s-a notat ultima cifră a numărului natural <math>n</math>. Egalitatea din ipoteza problemei se scrie în mod echivalent <math>\left(2r\right)^2 = 3p^4- 5q^4 - 26 = 5\left(p^4 - q^4 - 5\right) - \left(2p^4+1\right).</math> Cum numerele <math>p</math> și <math>q</math> sunt ambele impare, deducem că <math>u\left(5\left(p^4-q^4-5\right)\right) = 5</math>. Atunci <math>u\left(\left(2r\right)^2\right) = u\left(5-3\right) = 2</math>. Cum un pătrat perfect nu poate avea ultima cifră <math>2</math>, deducem că pentru <math>p>5</math>, ecuația nu are soluții.

Prin urmare, unica soluție este <math>\left(p,q,r\right) = \left(5,3,19\right)</math>.