Andrei.Horvat: Created page with "'''E:16887 (Gheorghe Boroica)''' ''Suma a $90$ de numere naturale este $2069$ . Arătați că există, printre acestea, cel puțin trei numere egale.'' '''Soluție''' Fie $S$ suma celor $90$ de numere. Presupunem contrariul, deci printre cele $90$ de numere, cel mult două numere pot fi egale. Atunci $S \ge \left(1+1\right) + \left(2+2\right) + \left(3+3\right)+\ldots +\left(45+45\right..."$

2025-09-19T19:29:49Z

Created page with "'''E:16887 (Gheorghe Boroica)''' ''Suma a <math>90</math> de numere naturale este <math>2069</math>. Arătați că există, printre acestea, cel puțin trei numere egale.'' '''Soluție''' Fie <math>S</math> suma celor <math>90</math> de numere. Presupunem contrariul, deci printre cele <math>90</math> de numere, cel mult două numere pot fi egale. Atunci <math display="block"> S \ge \left(1+1\right) + \left(2+2\right) + \left(3+3\right)+\ldots +\left(45+45\right..."

New page

'''[[E:16887]] (Gheorghe Boroica)'''

''Suma a <math>90</math> de numere naturale este <math>2069</math>. Arătați că există, printre acestea, cel puțin trei numere egale.''

'''Soluție'''

Fie <math>S</math> suma celor <math>90</math> de numere. Presupunem contrariul, deci printre cele <math>90</math> de numere, cel mult două numere pot fi egale. Atunci
<math display="block">
S \ge \left(1+1\right) + \left(2+2\right) + \left(3+3\right)+\ldots +\left(45+45\right) = 2\cdot\left(1+2+3+\ldots+45\right) = 2070.
</math>

Cum <math>2069 < 2070</math>, se obține contradicția care implică faptul că presupunerea făcută este falsă.

În concluzie, cel puțin trei numere sunt egale.

E:16887 - Revision history