E:16203 - Revision history

Andrei.Horvat at 15:20, 30 November 2024

2024-11-30T15:20:12Z

← Older revision		Revision as of 15:20, 30 November 2024
Line 11:		Line 11:
	Fie <math>BD \cap CM = \left\{A\right\}</math>. Atunci triunghiul <math>ABC</math> este echilateral. Notăm <math>AB=a > 0</math>. Deoarece <math>CD</math> este înălțime a triunghiului echilateral <math>ABC</math>, rezultă că <math>CD</math> este și bisectoare a <math>\sphericalangle ACB</math>.		Fie <math>BD \cap CM = \left\{A\right\}</math>. Atunci triunghiul <math>ABC</math> este echilateral. Notăm <math>AB=a > 0</math>. Deoarece <math>CD</math> este înălțime a triunghiului echilateral <math>ABC</math>, rezultă că <math>CD</math> este și bisectoare a <math>\sphericalangle ACB</math>.

	Fie <math>BC \cap DM = \left\{E\right\}</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că <math>EC = \frac{MC}{2}</math>, așadar <math>CM= \frac{3a}{2}</math>.		Fie <math>BC \cap DM = \left\{E\right\}</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că <math>EC = \frac{MC}{2}</math>, așadar <math>CM= \frac{3a}{2}.</math>

	a) Avem <math>MA=MC-AC=\frac{a}{2}=BF</math>, <math>AB= BC =a</math> și <math>\sphericalangle MAB = \sphericalangle FBC = 120^\circ</math>, deci triunghiurile <math>ABM</math> și <math>BCF</math> sunt congruente, așadar <math>MB=CF</math>.		a) Avem <math>MA=MC-AC=\frac{a}{2}=BF</math>, <math>AB= BC =a</math> și <math>\sphericalangle MAB = \sphericalangle FBC = 120^\circ</math>, deci triunghiurile <math>ABM</math> și <math>BCF</math> sunt congruente, așadar <math>MB=CF</math>.

Andrei.Horvat: Finalizare

2024-02-29T10:44:59Z

Finalizare

← Older revision		Revision as of 10:44, 29 February 2024
Line 18:		Line 18:

	Deoarece <math>\frac{MB}{BL} = \frac{AB}{BF} = 2 </math>, iar <math>\sphericalangle MBA = \sphericalangle LBF</math>, rezulră că triunghiurile <math>MBA</math> și <math>LBF</math> sunt asemenea, deci <math>FL \parallel MC</math>. Folosind secanta <math>FC</math>, deducem că ungiurile alterne interne <math>CFL</math> și <math>ACF</math> sunt congruente, așadar <math>\sphericalangle ACF = \sphericalangle MBC = \sphericalangle CFL</math>. Din <math>\Delta MBA \approx \Delta LBF</math> rezultă că <math>FL = \frac{MA}{2} = \frac{a}{4}=BE</math>.		Deoarece <math>\frac{MB}{BL} = \frac{AB}{BF} = 2 </math>, iar <math>\sphericalangle MBA = \sphericalangle LBF</math>, rezulră că triunghiurile <math>MBA</math> și <math>LBF</math> sunt asemenea, deci <math>FL \parallel MC</math>. Folosind secanta <math>FC</math>, deducem că ungiurile alterne interne <math>CFL</math> și <math>ACF</math> sunt congruente, așadar <math>\sphericalangle ACF = \sphericalangle MBC = \sphericalangle CFL</math>. Din <math>\Delta MBA \approx \Delta LBF</math> rezultă că <math>FL = \frac{MA}{2} = \frac{a}{4}=BE</math>.

			Cum <math>MB=CF</math> și <math>\sphericalangle MBC = \sphericalangle CFL</math>, rezultă că <math>\Delta MBE \equiv \Delta CFL </math>, așadar <math>CL \bot FL </math>. Din <math>\sphericalangle CLF = \sphericalangle CDF = 90^\circ</math> rezultă că <math>CDFL</math> este un patrulater inscriptibil, deci <math>\sphericalangle FDL = \sphericalangle FCL</math>. Deoarece <math>\Delta MBE \equiv \Delta CFL </math>, rezultă <math>\sphericalangle FCL = \sphericalangle BME</math>, deci <math>\sphericalangle BDL = \sphericalangle FDL = \sphericalangle BMD</math>.

Andrei.Horvat at 10:36, 29 February 2024

2024-02-29T10:36:34Z

← Older revision		Revision as of 10:36, 29 February 2024
Line 17:		Line 17:
	b) Triunghiurile <math>ABM</math> și <math>BCF</math> sunt congruente, de unde obținem că <math>\sphericalangle MBA = \sphericalangle FCB = x^\circ</math>. Rezultă că <math>\sphericalangle MBC = \sphericalangle ACF = 60^\circ + x^\circ</math>.		b) Triunghiurile <math>ABM</math> și <math>BCF</math> sunt congruente, de unde obținem că <math>\sphericalangle MBA = \sphericalangle FCB = x^\circ</math>. Rezultă că <math>\sphericalangle MBC = \sphericalangle ACF = 60^\circ + x^\circ</math>.

	Deoarece <math>\frac{MB}{BL} = \frac{AB}{BF} = 2 </math>, iar <math>\sphericalangle MBA = \sphericalangle LBF</math>, rezulră că triunghiurile <math>MBA</math> și <math>LBF</math> sunt asemenea, deci <math>FL \parallel MC</math>. Folosind secanta		Deoarece <math>\frac{MB}{BL} = \frac{AB}{BF} = 2 </math>, iar <math>\sphericalangle MBA = \sphericalangle LBF</math>, rezulră că triunghiurile <math>MBA</math> și <math>LBF</math> sunt asemenea, deci <math>FL \parallel MC</math>. Folosind secanta <math>FC</math>, deducem că ungiurile alterne interne <math>CFL</math> și <math>ACF</math> sunt congruente, așadar <math>\sphericalangle ACF = \sphericalangle MBC = \sphericalangle CFL</math>. Din <math>\Delta MBA \approx \Delta LBF</math> rezultă că <math>FL = \frac{MA}{2} = \frac{a}{4}=BE</math>.

Andrei.Horvat at 10:31, 29 February 2024

2024-02-29T10:31:08Z

← Older revision		Revision as of 10:31, 29 February 2024
Line 13:		Line 13:
	Fie <math>BC \cap DM = \left\{E\right\}</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că <math>EC = \frac{MC}{2}</math>, așadar <math>CM= \frac{3a}{2}</math>.		Fie <math>BC \cap DM = \left\{E\right\}</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că <math>EC = \frac{MC}{2}</math>, așadar <math>CM= \frac{3a}{2}</math>.

	a) Avem <math>MA=MC-AC=\frac{a}{2}=BF</math>, <math>AB= BC =a</math> și <math>\sphericalangle MAB = \~~sphericalangleFBC~~ = 120^\circ</math>, deci triunghiurile <math>ABM</math> și <math>BCF</math> sunt congruente, așadar <math>MB=CF</math>.		a) Avem <math>MA=MC-AC=\frac{a}{2}=BF</math>, <math>AB= BC =a</math> și <math>\sphericalangle MAB = \sphericalangle FBC = 120^\circ</math>, deci triunghiurile <math>ABM</math> și <math>BCF</math> sunt congruente, așadar <math>MB=CF</math>.

	b) Triunghiurile <math>ABM</math> și <math>BCF</math> sunt congruente		b) Triunghiurile <math>ABM</math> și <math>BCF</math> sunt congruente, de unde obținem că <math>\sphericalangle MBA = \sphericalangle FCB = x^\circ</math>. Rezultă că <math>\sphericalangle MBC = \sphericalangle ACF = 60^\circ + x^\circ</math>.

			Deoarece <math>\frac{MB}{BL} = \frac{AB}{BF} = 2 </math>, iar <math>\sphericalangle MBA = \sphericalangle LBF</math>, rezulră că triunghiurile <math>MBA</math> și <math>LBF</math> sunt asemenea, deci <math>FL \parallel MC</math>. Folosind secanta

Andrei.Horvat at 10:24, 29 February 2024

2024-02-29T10:24:42Z

← Older revision		Revision as of 10:24, 29 February 2024
Line 13:		Line 13:
	Fie <math>BC \cap DM = \left\{E\right\}</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că <math>EC = \frac{MC}{2}</math>, așadar <math>CM= \frac{3a}{2}</math>.		Fie <math>BC \cap DM = \left\{E\right\}</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că <math>EC = \frac{MC}{2}</math>, așadar <math>CM= \frac{3a}{2}</math>.

	a) Avem <math>MA=MC-AC=\frac{a}{2}=BF</math>, <math>AB= BC =a</math> și <math>\sphericalangle MAB = \sphericalangleFBC = 120^\circ</math>, deci triunghiurile sunt congruente, așadar		a) Avem <math>MA=MC-AC=\frac{a}{2}=BF</math>, <math>AB= BC =a</math> și <math>\sphericalangle MAB = \sphericalangleFBC = 120^\circ</math>, deci triunghiurile <math>ABM</math> și <math>BCF</math> sunt congruente, așadar <math>MB=CF</math>.

			b) Triunghiurile <math>ABM</math> și <math>BCF</math> sunt congruente

Andrei.Horvat at 10:22, 29 February 2024

2024-02-29T10:22:46Z

← Older revision		Revision as of 10:22, 29 February 2024
Line 13:		Line 13:
	Fie <math>BC \cap DM = \left\{E\right\}</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că <math>EC = \frac{MC}{2}</math>, așadar <math>CM= \frac{3a}{2}</math>.		Fie <math>BC \cap DM = \left\{E\right\}</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că <math>EC = \frac{MC}{2}</math>, așadar <math>CM= \frac{3a}{2}</math>.

	a) Avem <math>MA=MC-AC=\frac{a}{2}=BF</math>, <math>AB= BC =a</math> și		a) Avem <math>MA=MC-AC=\frac{a}{2}=BF</math>, <math>AB= BC =a</math> și <math>\sphericalangle MAB = \sphericalangleFBC = 120^\circ</math>, deci triunghiurile sunt congruente, așadar

Andrei.Horvat at 10:20, 29 February 2024

2024-02-29T10:20:02Z

← Older revision		Revision as of 10:20, 29 February 2024
Line 9:		Line 9:
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	Fie <math>BD \cap CM = \left\{A\right\}</math>. Atunci triunghiul <math>ABC</math> este echilateral. Notăm <math>AB=a > 0</math>. Deoarece <math>CD</math> este înălțime a triunghiului echilateral <math>ABC</math>, rezultă că <math>CD</math> este și bisectoare a <math>\sphericalangle ACB</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că <math>EC = \frac{MC}{2}</math>, așadar <math>CM= \frac{3a}{2}</math>.		Fie <math>BD \cap CM = \left\{A\right\}</math>. Atunci triunghiul <math>ABC</math> este echilateral. Notăm <math>AB=a > 0</math>. Deoarece <math>CD</math> este înălțime a triunghiului echilateral <math>ABC</math>, rezultă că <math>CD</math> este și bisectoare a <math>\sphericalangle ACB</math>.

			Fie <math>BC \cap DM = \left\{E\right\}</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că <math>EC = \frac{MC}{2}</math>, așadar <math>CM= \frac{3a}{2}</math>.

			a) Avem <math>MA=MC-AC=\frac{a}{2}=BF</math>, <math>AB= BC =a</math> și

Andrei.Horvat at 10:14, 29 February 2024

2024-02-29T10:14:33Z

← Older revision		Revision as of 10:14, 29 February 2024
Line 9:		Line 9:
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	Fie <math>BD \cap CM = \left\{A\right\}</math>. Atunci triunghiul <math>ABC</math> este echilateral. Notăm <math>AB=a > 0</math>. Deoarece <math>CD</math> este înălțime a triunghiului echilateral <math>ABC</math>, rezultă că <math>CD</math> este și bisectoare a <math>\sphericalangle ACB</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că		Fie <math>BD \cap CM = \left\{A\right\}</math>. Atunci triunghiul <math>ABC</math> este echilateral. Notăm <math>AB=a > 0</math>. Deoarece <math>CD</math> este înălțime a triunghiului echilateral <math>ABC</math>, rezultă că <math>CD</math> este și bisectoare a <math>\sphericalangle ACB</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că <math>EC = \frac{MC}{2}</math>, așadar <math>CM= \frac{3a}{2}</math>.

Andrei.Horvat: Pagină nouă: '''E:16203 (Dana Heuberger)''' ''Fie triunghiul'' $BCD$ dreptunghic în $D$ , cu $\sphericalangle CBD = 90^\circ$ . ''Se consideră punctul'' $M$ ''astfel încât semidreapta'' $CD$ ''este bisectoarea'' $\sphericalangle BCM$ ''și'' $MD \bot BC$ ''. Fie punctul'' $L$ ''astfel încât'' $B$ ''se află pe segmentul'' $ML$ ''și'' $BM=2BL$ . ''Notăm cu'' $...$

2024-02-29T10:12:30Z

Pagină nouă: '''E:16203 (Dana Heuberger)''' ''Fie triunghiul'' <math>BCD</math> dreptunghic în <math>D</math>, cu <math>\sphericalangle CBD = 90^\circ</math>. ''Se consideră punctul'' <math>M</math> ''astfel încât semidreapta'' <math>CD</math> ''este bisectoarea'' <math>\sphericalangle BCM</math> ''și'' <math>MD \bot BC</math>''. Fie punctul'' <math>L</math> ''astfel încât'' <math>B</math> ''se află pe segmentul'' <math>ML</math> ''și'' <math>BM=2BL</math>. ''Notăm cu'' <math>...

New page

'''E:16203 (Dana Heuberger)'''

''Fie triunghiul'' <math>BCD</math> dreptunghic în <math>D</math>, cu <math>\sphericalangle CBD = 90^\circ</math>. ''Se consideră punctul'' <math>M</math> ''astfel încât semidreapta'' <math>CD</math> ''este bisectoarea'' <math>\sphericalangle BCM</math> ''și'' <math>MD \bot BC</math>''. Fie punctul'' <math>L</math> ''astfel încât'' <math>B</math> ''se află pe segmentul'' <math>ML</math> ''și'' <math>BM=2BL</math>. ''Notăm cu'' <math>F</math> ''simetricul lui'' <math>D</math> ''față de'' <math>B</math>. ''Arătați că''

a) <math>MB=CF</math>

b) <math>\sphericalangle BDL = \sphericalangle BMD</math>

'''Soluție:'''

Fie <math>BD \cap CM = \left\{A\right\}</math>. Atunci triunghiul <math>ABC</math> este echilateral. Notăm <math>AB=a > 0</math>. Deoarece <math>CD</math> este înălțime a triunghiului echilateral <math>ABC</math>, rezultă că <math>CD</math> este și bisectoare a <math>\sphericalangle ACB</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că