Andrei.Horvat at 16:56, 19 January 2025

2025-01-19T16:56:43Z

← Older revision		Revision as of 16:56, 19 January 2025
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție.'''		'''Soluție.'''

	Cum <math>1001 \le \overline{abcd}+a+b+c+d \le 10035</math>, avem <math>1001 \le n! \le 10035</math>, de unde rezultă <math>n=7</math>, cu <math>n! = 7! = 5040</math>.		Cum <math>1001 \le \overline{abcd}+a+b+c+d \le 10035</math>, avem <math>1001 \le n! \le 10035</math>, de unde rezultă <math>n=7</math>, cu <math>n! = 7! = 5040</math>.

	Deoarece <math>1 \le a+b+c+d \le 36</math>, rezultă <math>5004 \le \overline{abcd} \le 5039</math>, ceea ce implică <math>a=5</math>.		Deoarece <math>1 \le a+b+c+d \le 36</math>, rezultă <math>5004 \le \overline{abcd} \le 5039</math>, ceea ce implică <math>a=5</math>.

Andrei.Horvat: Created page with "'''E:15760 (Cristina și Mihai Vijdeluc)''' ''Aflați numerele $\overline{abcd}$ și $n$ pentru care $\overline{abcd}+a+b+c+d=n!$ .'' '''Soluție.''' Cum $1001 \le \overline{abcd}+a+b+c+d \le 10035$ , avem $1001 \le n! \le 10035$ , de unde rezultă $n=7$ , cu $n! = 7! = 5040$ . Deoarece $1 \le a+b+c+d \le 36$ , rezultă $5004 \le \overline{abcd} \le 5039$ , ceea ce implică <..."

2025-01-19T16:54:50Z

Created page with "'''E:15760 (Cristina și Mihai Vijdeluc)''' ''Aflați numerele <math>\overline{abcd}</math> și <math>n</math> pentru care <math>\overline{abcd}+a+b+c+d=n!</math>.'' '''Soluție.''' Cum <math>1001 \le \overline{abcd}+a+b+c+d \le 10035</math>, avem <math>1001 \le n! \le 10035</math>, de unde rezultă <math>n=7</math>, cu <math>n! = 7! = 5040</math>. Deoarece <math>1 \le a+b+c+d \le 36</math>, rezultă <math>5004 \le \overline{abcd} \le 5039</math>, ceea ce implică <..."

New page

'''E:15760 (Cristina și Mihai Vijdeluc)'''

''Aflați numerele <math>\overline{abcd}</math> și <math>n</math> pentru care <math>\overline{abcd}+a+b+c+d=n!</math>.''

'''Soluție.'''

Cum <math>1001 \le \overline{abcd}+a+b+c+d \le 10035</math>, avem <math>1001 \le n! \le 10035</math>, de unde rezultă <math>n=7</math>, cu <math>n! = 7! = 5040</math>.

Deoarece <math>1 \le a+b+c+d \le 36</math>, rezultă <math>5004 \le \overline{abcd} \le 5039</math>, ceea ce implică <math>a=5</math>.

Din <math>\overline{5bcd}+5+b+c+d=5040</math> se obține <math>\overline{bcd} + b+c+d = 35</math>, ceea ce implică <math>b=0</math> și <math>\overline{cd} +c +d = 35</math>.

Din egalitatea <math>\overline{cd} + c+d = 11c+2d=35</math> se deduce că <math>c</math> este un număr impar cel mult egal cu <math>3</math>, deci <math>c\in \left\{1,3\right\}</math>. Pentru <math>d\le 9</math> se obține <math>11c \ge 35-2\cdot 9 = 17 </math>, deci <math>c\ge 2</math>. Atunci <math>c=3</math>.

Din egalitatea <math>33+2d=35</math> se obține <math>d=1</math>.

În concluzie, avem <math>n=7</math> și <math>\overline{abcd} = 5031</math>.

E:15760 - Revision history

Andrei.Horvat at 16:56, 19 January 2025