Tita Marian: Created page with "'''E:15343 (Mihaela Berindeanu, București)''' ''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care $3^a + 3^b + 3^c = 81 \cdot 2018$ .'' '''Soluție''' Presupunem, fără a restrânge generalitatea problemei, că $a \leq b \leq c$ . Ecuația devine $3^a \cdot (1 + 3^{b-a} + 3^{c-a}) = 3^{8072}.$ Numărul $3^{8072}$ se divide numai cu puteri ale lui 3. Dacă $b - a \neq 0$ sau $c - a \neq 0$ , atunci..."

2025-01-11T19:50:23Z

Created page with "'''E:15343 (Mihaela Berindeanu, București)''' ''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care <math>3^a + 3^b + 3^c = 81 \cdot 2018</math>.'' '''Soluție''' Presupunem, fără a restrânge generalitatea problemei, că <math>a \leq b \leq c</math>. Ecuația devine <math>3^a \cdot (1 + 3^{b-a} + 3^{c-a}) = 3^{8072}.</math> Numărul <math>3^{8072}</math> se divide numai cu puteri ale lui 3. Dacă <math>b - a \neq 0</math> sau <math> c - a \neq 0 </math>, atunci..."

New page

'''E:15343 (Mihaela Berindeanu, București)'''

''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care <math>3^a + 3^b + 3^c = 81 \cdot 2018</math>.''

'''Soluție'''

Presupunem, fără a restrânge generalitatea problemei, că <math>a \leq b \leq c</math>. Ecuația devine
<math>3^a \cdot (1 + 3^{b-a} + 3^{c-a}) = 3^{8072}.</math>
Numărul <math>3^{8072}</math> se divide numai cu puteri ale lui 3. Dacă <math>b - a \neq 0</math> sau <math> c - a \neq 0 </math>, atunci <math>1 + 3^{b-a} + 3^{c-a}</math> este un număr care nu se divide cu 3, dar care divide <math>3^{8072}</math>, imposibil.

Deducem că <math>b - a = 0</math> și <math>c - a = 0</math>, adică <math>a = b = c.</math> Cu aceasta, ecuația devine
<math>3^a \cdot 3 = 3^{8072}</math> sau <math>3^{a+1} = 3^{8072},</math>
de unde <math>a = 8071</math> și atunci <math>a = b = c = 8071.</math>

E:15343 - Revision history