E:14892 - Revision history

Andrei.Horvat at 20:29, 20 December 2023

2023-12-20T20:29:14Z

← Older revision		Revision as of 20:29, 20 December 2023
Line 23:		Line 23:

	b) Avem <math>m\left(\sphericalangle ARM\right) = \frac{1}{2}\cdot m\left(\stackrel{\frown}{BM}\right) = m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ.</math>		b) Avem <math>m\left(\sphericalangle ARM\right) = \frac{1}{2}\cdot m\left(\stackrel{\frown}{BM}\right) = m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ.</math>

			c) Din <math>m\left( \sphericalangle DMC \right) = m\left( \sphericalangle MAC \right) + m\left( \sphericalangle AMC \right)</math>, și <math>m \left( \stackrel{\frown}{MT} \right) = \frac{1}{2} \cdot m\left( \sphericalangle MCT \right) = \frac{1}{2} \cdot m\left( \sphericalangle MRT \right)</math> se deduce că are loc egalitatea <math display="block"> m\left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MAT\right) = m\left(\sphericalangle DMC\right)</math>

Andrei.Horvat at 20:18, 20 December 2023

2023-12-20T20:18:53Z

← Older revision		Revision as of 20:18, 20 December 2023
Line 14:		Line 14:
	Cum <math>m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ</math>, avem <math>m\left(\sphericalangle BMP\right) = 60^\circ</math> și <math>\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]</math>, deci triunghiul <math>BMP</math> este echilateral.		Cum <math>m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ</math>, avem <math>m\left(\sphericalangle BMP\right) = 60^\circ</math> și <math>\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]</math>, deci triunghiul <math>BMP</math> este echilateral.

	În triunghiul <math>BPR</math> avem <math>m\left(\sphericalangle RBP\right) = a + 60^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BPR\right) = 60^\circ - 2a</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle BRP\right) = 180^\circ - \left(60^\circ + a\right) - \left(60^\circ -2a\right) = 60^\circ + a = m\left(\sphericalangle RBP\right)</math>. Cum <math>\sphericalangle RBP \equiv \sphericalangle PBR</math>, rezultă că triunghiul <math>PBR</math> este isoscel, cu <math>\left[ BP \right] \equiv \left[RP\right]</math>.		În triunghiul <math>BPR</math> avem <math>m\left(\sphericalangle RBP\right) = a + 60^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BPR\right) = 60^\circ - 2a</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle BRP\right) = 180^\circ - \left(60^\circ + a\right) - \left(60^\circ -2a\right) = 60^\circ + a = m\left(\sphericalangle RBP\right)</math>. Cum <math>\sphericalangle RBP \equiv \sphericalangle PBR</math>, rezultă că triunghiul <math>PBR</math> este isoscel, cu <math display="block" id="eq1">\left[ BP \right] \equiv \left[RP\right].</math>Fie <math>E</math> simetricul punctului <math>M</math> față de punctul <math>P</math>. Atunci triunghiul <math>MBE</math> este dreptunghic, cu <math>m\left(\sphericalangle MBE\right) = 90^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BMP\right) = 60^\circ</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle BEM\right) = 30^\circ = m\left(\sphericalangle BCM\right)</math>, deci patrulaterul <math>BMCE</math> este inscriptibil.

	~~Fie~~ <math>~~E</math> simetricul punctului <math>M</math> față de punctul <math>P~~</math>. ~~Atunci triunghiul <math>MBE</math> este dreptunghic, cu~~ <math>m\left(\sphericalangle ~~MBE~~\right) = ~~90^~~\~~circ</math> și <math>~~m\left(\sphericalangle ~~BMP~~\right) = 60^\circ</math>~~, deci~~ <math>m\left(\sphericalangle ~~BEM~~\right) = ~~30^~~\~~circ =~~ m\left(\sphericalangle ~~BCM~~\right)</math>~~, deci patrulaterul <math>BMCE</math> este inscriptibil~~.		Notăm <math>x= m\left(\sphericalangle CBP\right) = m\left(\sphericalangle BCP\right)</math>. Avem <math>m\left(\sphericalangle MPC\right) = m \left(\stackrel{\frown}{MC}\right) = 2\cdot m\left(\sphericalangle MBC\right) = 2\left(60^\circ - x\right)</math>. Atunci <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = m\left(\sphericalangle MPC\right) - m\left(\sphericalangle MPT\right) = 2\left(60^\circ - x\right) - 2b</math>.

	~~Notăm~~ <math>x= m\left(\sphericalangle ~~CBP~~\right) = m\left(\sphericalangle ~~BCP~~\right)</math>~~. Avem~~ <math>m\left(\sphericalangle ~~MPC~~\right) = ~~= 2~~\~~cdot m~~\left(\~~sphericalangle MBC~~\right) ~~= 2~~\left(60^\circ - x\right)</math>. ~~Atunci~~ <math>m\~~left(~~\sphericalangle ~~TPC\right)~~ = m\left~~(\sphericalangle MPC~~\right~~) - m~~\~~left(\sphericalangle MPT\right) = 2~~\left~~(60^\circ - x~~\right~~) - 2b~~</math>.		În triunghiul <math>TPC</math> avem <math>m\left(\sphericalangle TCP\right) = b + 30^\circ + x</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = 120^\circ - 2b - 2x</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle PTC\right) = 180^\circ - \left(b+30^\circ + x\right) - \left(120^\circ -2b - 2x\right) = 30^\circ + b + x = m\left(\sphericalangle TCP\right)</math>. Cum <math>\sphericalangle TCP \equiv \sphericalangle PCT</math>, rezultă că triunghiul <math>PCT</math> este isoscel, cu <math display="block" id="eq2">\left[ CP \right] \equiv \left[TP\right].</math>Deci punctele <math>M</math>, <math>R</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>T</math> sunt conciclice.

	~~În triunghiul <math>TPC</math> avem~~ <math>m\left(\sphericalangle ~~TCP~~\right) = ~~b + 30^\circ + x</math> și <math>~~m\left(\~~sphericalangle TPC~~\right) = ~~120^\circ - 2b - 2x</math>, deci <math>~~m\left(\~~sphericalangle PTC~~\right) ~~= 180^\circ -~~ \left(~~b+30^~~\~~circ + x~~\right) - \left(~~120^~~\~~circ -2b - 2x~~\right) ~~= 30^~~\~~circ + b + x =~~ m\left(\sphericalangle ~~TCP~~\right)</math>~~. Cum~~ <math>\~~sphericalangle TCP~~ \~~equiv~~ \sphericalangle ~~PCT</math>, rezultă că triunghiul <math>PCT</math> este isoscel, cu <math>~~\left~~[ CP~~ \right] \~~equiv~~ \~~left[TP~~\right]</math>.		a) Avem <math>m\left(\sphericalangle RPT\right) = m \left(\stackrel{\frown}{RT}\right) = m\left(\stackrel{\frown}{RM}\right) + m\left(\stackrel{\frown}{MT}\right) = 2\cdot m\left(\sphericalangle MTR\right) + 2\cdot m\left(\sphericalangle MRT\right)</math>, deci <math>\frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPT\right) = m\left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MTR\right).</math>

	~~Deci punctele <math>M</math>, <math>R</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>T</math> sunt conciclice.~~		b) Avem <math>m\left(\sphericalangle ARM\right) = \frac{1}{2}\cdot m\left(\stackrel{\frown}{BM}\right) = m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ.</math>

	a) Avem <math>m\left(\sphericalangle ~~RPT\right) = m \left(\widearc{RT}\right) = m\left(\widearc{RM}\right) + m\left(\widearc{MT}~~\right) = ~~2\cdot m\left(\sphericalangle MTR\right) + 2\cdot m\left(\sphericalangle MRT\right)</math>, deci <math>~~\frac{1}{2} \cdot m\left(\~~sphericalangle RPT\right) = m~~\~~left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MTR\right).</math>~~

	~~b) Avem <math>m\left(\sphericalangle ARM\right) = \frac{1}{2~~}~~\cdot m\left(\widearc~~{BM}\right) = m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ.</math>

Andrei.Horvat at 20:08, 20 December 2023

2023-12-20T20:08:55Z

← Older revision		Revision as of 20:08, 20 December 2023
Line 18:		Line 18:
	Fie <math>E</math> simetricul punctului <math>M</math> față de punctul <math>P</math>. Atunci triunghiul <math>MBE</math> este dreptunghic, cu <math>m\left(\sphericalangle MBE\right) = 90^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BMP\right) = 60^\circ</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle BEM\right) = 30^\circ = m\left(\sphericalangle BCM\right)</math>, deci patrulaterul <math>BMCE</math> este inscriptibil.		Fie <math>E</math> simetricul punctului <math>M</math> față de punctul <math>P</math>. Atunci triunghiul <math>MBE</math> este dreptunghic, cu <math>m\left(\sphericalangle MBE\right) = 90^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BMP\right) = 60^\circ</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle BEM\right) = 30^\circ = m\left(\sphericalangle BCM\right)</math>, deci patrulaterul <math>BMCE</math> este inscriptibil.

	Notăm <math>x= m\left(\sphericalangle CBP\right) = m\left(\sphericalangle BCP\right)</math>. Avem <math>m\left(\sphericalangle MPC\right) = ~~m \left(\widearc{MC}\right)~~ = 2\cdot m\left(\sphericalangle MBC\right) = 2\left(60^\circ - x\right)</math>. Atunci <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = m\left(\sphericalangle MPC\right) - m\left(\sphericalangle MPT\right) = 2\left(60^\circ - x\right) - 2b</math>.		Notăm <math>x= m\left(\sphericalangle CBP\right) = m\left(\sphericalangle BCP\right)</math>. Avem <math>m\left(\sphericalangle MPC\right) = = 2\cdot m\left(\sphericalangle MBC\right) = 2\left(60^\circ - x\right)</math>. Atunci <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = m\left(\sphericalangle MPC\right) - m\left(\sphericalangle MPT\right) = 2\left(60^\circ - x\right) - 2b</math>.

	În triunghiul <math>TPC</math> avem <math>m\left(\sphericalangle TCP\right) = b + 30^\circ + x</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = 120^\circ - 2b - 2x</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle PTC\right) = 180^\circ - \left(b+30^\circ + x\right) - \left(120^\circ -2b - 2x\right) = 30^\circ + b + x = m\left(\sphericalangle TCP\right)</math>. Cum <math>\sphericalangle TCP \equiv \sphericalangle PCT</math>, rezultă că triunghiul <math>PCT</math> este isoscel, cu <math>\left[ CP \right] \equiv \left[TP\right]</math>.		În triunghiul <math>TPC</math> avem <math>m\left(\sphericalangle TCP\right) = b + 30^\circ + x</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = 120^\circ - 2b - 2x</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle PTC\right) = 180^\circ - \left(b+30^\circ + x\right) - \left(120^\circ -2b - 2x\right) = 30^\circ + b + x = m\left(\sphericalangle TCP\right)</math>. Cum <math>\sphericalangle TCP \equiv \sphericalangle PCT</math>, rezultă că triunghiul <math>PCT</math> este isoscel, cu <math>\left[ CP \right] \equiv \left[TP\right]</math>.

Andrei.Horvat at 20:07, 20 December 2023

2023-12-20T20:07:33Z

← Older revision		Revision as of 20:07, 20 December 2023
Line 9:		Line 9:
	'''Soluție'''		'''Soluție'''
	[[Fișier:E-14892 a.png\|miniatura]]		[[Fișier:E-14892 a.png\|miniatura]]

			Folosim notațiile <math>m\left(\sphericalangle RBM\right) = a</math> și <math>m\left(\sphericalangle TCM\right) = b</math>. Atunci <math>m\left(\sphericalangle MPR\right) = 2a</math> și <math>m\left(\sphericalangle MPT\right) = 2b</math>.

			Cum <math>m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ</math>, avem <math>m\left(\sphericalangle BMP\right) = 60^\circ</math> și <math>\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]</math>, deci triunghiul <math>BMP</math> este echilateral.

			În triunghiul <math>BPR</math> avem <math>m\left(\sphericalangle RBP\right) = a + 60^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BPR\right) = 60^\circ - 2a</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle BRP\right) = 180^\circ - \left(60^\circ + a\right) - \left(60^\circ -2a\right) = 60^\circ + a = m\left(\sphericalangle RBP\right)</math>. Cum <math>\sphericalangle RBP \equiv \sphericalangle PBR</math>, rezultă că triunghiul <math>PBR</math> este isoscel, cu <math>\left[ BP \right] \equiv \left[RP\right]</math>.

			Fie <math>E</math> simetricul punctului <math>M</math> față de punctul <math>P</math>. Atunci triunghiul <math>MBE</math> este dreptunghic, cu <math>m\left(\sphericalangle MBE\right) = 90^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BMP\right) = 60^\circ</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle BEM\right) = 30^\circ = m\left(\sphericalangle BCM\right)</math>, deci patrulaterul <math>BMCE</math> este inscriptibil.

			Notăm <math>x= m\left(\sphericalangle CBP\right) = m\left(\sphericalangle BCP\right)</math>. Avem <math>m\left(\sphericalangle MPC\right) = m \left(\widearc{MC}\right) = 2\cdot m\left(\sphericalangle MBC\right) = 2\left(60^\circ - x\right)</math>. Atunci <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = m\left(\sphericalangle MPC\right) - m\left(\sphericalangle MPT\right) = 2\left(60^\circ - x\right) - 2b</math>.

			În triunghiul <math>TPC</math> avem <math>m\left(\sphericalangle TCP\right) = b + 30^\circ + x</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = 120^\circ - 2b - 2x</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle PTC\right) = 180^\circ - \left(b+30^\circ + x\right) - \left(120^\circ -2b - 2x\right) = 30^\circ + b + x = m\left(\sphericalangle TCP\right)</math>. Cum <math>\sphericalangle TCP \equiv \sphericalangle PCT</math>, rezultă că triunghiul <math>PCT</math> este isoscel, cu <math>\left[ CP \right] \equiv \left[TP\right]</math>.

			Deci punctele <math>M</math>, <math>R</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>T</math> sunt conciclice.

			a) Avem <math>m\left(\sphericalangle RPT\right) = m \left(\widearc{RT}\right) = m\left(\widearc{RM}\right) + m\left(\widearc{MT}\right) = 2\cdot m\left(\sphericalangle MTR\right) + 2\cdot m\left(\sphericalangle MRT\right)</math>, deci <math>\frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPT\right) = m\left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MTR\right).</math>

			b) Avem <math>m\left(\sphericalangle ARM\right) = \frac{1}{2}\cdot m\left(\widearc{BM}\right) = m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ.</math>

Andrei.Horvat at 20:00, 20 December 2023

2023-12-20T20:00:35Z

← Older revision		Revision as of 20:00, 20 December 2023
Line 1:		Line 1:
	'''E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)'''		'''E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)'''

	Fie triunghiul <math>ABC</math> cu <math>m\left(\sphericalangle C\right) > 30^\circ</math> și punctele <math>M</math>, <math>P</math>, <math>R</math>, <math>T</math>. Punctul <math>M</math> este situat în interiorul triunghiului <math>ABC</math> astfel încât <math>m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ</math>, punctul <math>P\in \left(MD\right.</math> astfel încât <math>\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]</math> cu <math>AM \cap BC = \left\{D\right\}</math>, iar <math>R\in \left(AB\right)</math> și <math>T \in \left(AC\right)</math> astfel încât <math>m\left(\sphericalangle RBM\right) = \frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPM\right) = 2 \cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)</math>.		''Fie triunghiul'' <math>ABC</math> ''cu'' <math>m\left(\sphericalangle C\right) > 30^\circ</math> ''și punctele'' <math>M</math>, <math>P</math>, <math>R</math>, <math>T</math>. ''Punctul'' <math>M</math> ''este situat în interiorul triunghiului'' <math>ABC</math> ''astfel încât'' <math>m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ</math> ''și <math>m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ</math>, punctul <math>P\in \left(MD\right.</math> astfel încât <math>\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]</math> cu <math>AM \cap BC = \left\{D\right\}</math>, iar <math>R\in \left(AB\right)</math> și <math>T \in \left(AC\right)</math> astfel încât <math>m\left(\sphericalangle RBM\right) = \frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPM\right) = 2 \cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)</math>.''

	# A		# ''Arătați că'' <math>\frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPT\right) = m\left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MTR\right)</math>
	# D		# ''Determinați măsura unghiului'' <math>\sphericalangle ARM</math>
	# A		# ''Arătați că'' <math> m\left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MAT\right) = m\left(\sphericalangle DMC\right)</math>

	'''Soluție'''		'''Soluție'''
	[[Fișier:E-14892 a.png\|miniatura]]		[[Fișier:E-14892 a.png\|miniatura]]

Andrei.Horvat at 19:57, 20 December 2023

2023-12-20T19:57:06Z

← Older revision		Revision as of 19:57, 20 December 2023
Line 2:		Line 2:

	Fie triunghiul <math>ABC</math> cu <math>m\left(\sphericalangle C\right) > 30^\circ</math> și punctele <math>M</math>, <math>P</math>, <math>R</math>, <math>T</math>. Punctul <math>M</math> este situat în interiorul triunghiului <math>ABC</math> astfel încât <math>m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ</math>, punctul <math>P\in \left(MD\right.</math> astfel încât <math>\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]</math> cu <math>AM \cap BC = \left\{D\right\}</math>, iar <math>R\in \left(AB\right)</math> și <math>T \in \left(AC\right)</math> astfel încât <math>m\left(\sphericalangle RBM\right) = \frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPM\right) = 2 \cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)</math>.		Fie triunghiul <math>ABC</math> cu <math>m\left(\sphericalangle C\right) > 30^\circ</math> și punctele <math>M</math>, <math>P</math>, <math>R</math>, <math>T</math>. Punctul <math>M</math> este situat în interiorul triunghiului <math>ABC</math> astfel încât <math>m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ</math>, punctul <math>P\in \left(MD\right.</math> astfel încât <math>\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]</math> cu <math>AM \cap BC = \left\{D\right\}</math>, iar <math>R\in \left(AB\right)</math> și <math>T \in \left(AC\right)</math> astfel încât <math>m\left(\sphericalangle RBM\right) = \frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPM\right) = 2 \cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)</math>.

			# A
			# D
			# A

			'''Soluție'''
			[[Fișier:E-14892 a.png\|miniatura]]

Andrei.Horvat at 19:54, 20 December 2023

2023-12-20T19:54:05Z

← Older revision		Revision as of 19:54, 20 December 2023
Line 1:		Line 1:
	'''E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)'''		'''E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)'''

	Fie triunghiul <math>ABC</math> cu $m\left(\sphericalangle C\right) > 30^\circ$ și punctele $M$, $P$, $R$, $T$. Punctul $M$ este situat în interiorul triunghiului $ABC$ astfel încât $m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ$ și $m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ$, punctul $P\in \left(MD\right.$ astfel încât $\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]$ cu $AM \cap BC = \left\{D\right\}$, iar $R\in \left(AB\right)$ și $T \in \left(AC\right)$ astfel încât $m\left(\sphericalangle RBM\right) = \frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)$ și $m\left(\sphericalangle TPM\right) = 2 \cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)$.		Fie triunghiul <math>ABC</math> cu <math>m\left(\sphericalangle C\right) > 30^\circ</math> și punctele <math>M</math>, <math>P</math>, <math>R</math>, <math>T</math>. Punctul <math>M</math> este situat în interiorul triunghiului <math>ABC</math> astfel încât <math>m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ</math>, punctul <math>P\in \left(MD\right.</math> astfel încât <math>\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]</math> cu <math>AM \cap BC = \left\{D\right\}</math>, iar <math>R\in \left(AB\right)</math> și <math>T \in \left(AC\right)</math> astfel încât <math>m\left(\sphericalangle RBM\right) = \frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPM\right) = 2 \cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)</math>.

Andrei.Horvat at 19:50, 20 December 2023

2023-12-20T19:50:56Z

← Older revision		Revision as of 19:50, 20 December 2023
Line 1:		Line 1:
	'''E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)'''		'''E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)'''

	Fie triunghiul $ABC$ cu $m\left(\sphericalangle C\right) > 30^\circ$ și punctele $M$, $P$, $R$, $T$. Punctul $M$ este situat în interiorul triunghiului $ABC$ astfel încât $m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ$ și $m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ$, punctul $P\in \left(MD\right.$ astfel încât $\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]$ cu $AM \cap BC = \left\{D\right\}$, iar $R\in \left(AB\right)$ și $T \in \left(AC\right)$ astfel încât $m\left(\sphericalangle RBM\right) = \frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)$ și $m\left(\sphericalangle TPM\right) = 2 \cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)$.		Fie triunghiul <math>ABC</math> cu $m\left(\sphericalangle C\right) > 30^\circ$ și punctele $M$, $P$, $R$, $T$. Punctul $M$ este situat în interiorul triunghiului $ABC$ astfel încât $m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ$ și $m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ$, punctul $P\in \left(MD\right.$ astfel încât $\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]$ cu $AM \cap BC = \left\{D\right\}$, iar $R\in \left(AB\right)$ și $T \in \left(AC\right)$ astfel încât $m\left(\sphericalangle RBM\right) = \frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)$ și $m\left(\sphericalangle TPM\right) = 2 \cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)$.

Andrei.Horvat: Pagină nouă: '''E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)''' Fie triunghiul $ABC$ cu $m\left(\sphericalangle C\right) > 30^\circ$ și punctele $M$, $P$, $R$, $T$. Punctul $M$ este situat în interiorul triunghiului $ABC$ astfel încât $m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ$ și $m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ$, punctul $P\in \left(MD\right.$ astfel încât $\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]$ cu $AM \cap BC = \left\{D\right\}$, iar $R\in \left(AB\right)$ și $T \in...

2023-12-20T19:50:04Z

Pagină nouă: '''E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)''' Fie triunghiul $ABC$ cu $m\left(\sphericalangle C\right) > 30^\circ$ și punctele $M$, $P$, $R$, $T$. Punctul $M$ este situat în interiorul triunghiului $ABC$ astfel încât $m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ$ și $m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ$, punctul $P\in \left(MD\right.$ astfel încât $\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]$ cu $AM \cap BC = \left\{D\right\}$, iar $R\in \left(AB\right)$ și $T \in...

New page

'''E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)'''

Fie triunghiul $ABC$ cu $m\left(\sphericalangle C\right) > 30^\circ$ și punctele $M$, $P$, $R$, $T$. Punctul $M$ este situat în interiorul triunghiului $ABC$ astfel încât $m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ$ și $m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ$, punctul $P\in \left(MD\right.$ astfel încât $\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]$ cu $AM \cap BC = \left\{D\right\}$, iar $R\in \left(AB\right)$ și $T \in \left(AC\right)$ astfel încât $m\left(\sphericalangle RBM\right) = \frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)$ și $m\left(\sphericalangle TPM\right) = 2 \cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)$.