E:14763 - Revision history

Andrei.Horvat at 16:39, 18 December 2024

2024-12-18T16:39:18Z

← Older revision		Revision as of 16:39, 18 December 2024
Line 14:		Line 14:

	Pentru <math>2 < q < p</math>, considerăm că <math>p</math> este un număr prim de forma <math>3k+1</math> sau <math>3k+2</math>, cu <math>k \in \mathbb{N} \setminus \left\{0\right\}</math>. Atunci <math>p^2 - 1 \in \mathcal{M}_3</math>. Din <math>q\, \| \, p^2 - 1 </math> și <math>q</math> număr prim, rezultă <math>q = 3</math>. Acum <math>p\, \| \, q^2 + 1 </math> revine la <math>p\, \| \, 10 </math>, cu <math>p>3 </math>, deci <math>p = 5</math>.		Pentru <math>2 < q < p</math>, considerăm că <math>p</math> este un număr prim de forma <math>3k+1</math> sau <math>3k+2</math>, cu <math>k \in \mathbb{N} \setminus \left\{0\right\}</math>. Atunci <math>p^2 - 1 \in \mathcal{M}_3</math>. Din <math>q\, \| \, p^2 - 1 </math> și <math>q</math> număr prim, rezultă <math>q = 3</math>. Acum <math>p\, \| \, q^2 + 1 </math> revine la <math>p\, \| \, 10 </math>, cu <math>p>3 </math>, deci <math>p = 5</math>.

			Numerele căutate sunt <math>p = 5</math> și <math>q = 3</math>.

	'''Observație:''' Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' revine la <math>p+q = \left( p-q\right)^3</math>		'''Observație:''' Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' revine la <math>p+q = \left( p-q\right)^3</math>

Andrei.Horvat at 16:37, 18 December 2024

2024-12-18T16:37:09Z

← Older revision		Revision as of 16:37, 18 December 2024
Line 13:		Line 13:
	pe de altă parte <math>p^2 + 11 \, \| \, 6p^2 + 10</math>, ceea ce conduce la <math>p^2 \in \left\{3,17,45\right\}</math>, valori care nu convin.		pe de altă parte <math>p^2 + 11 \, \| \, 6p^2 + 10</math>, ceea ce conduce la <math>p^2 \in \left\{3,17,45\right\}</math>, valori care nu convin.

	Pentru <math>2 < q < p</math>, considerăm că <math>p</math> este un număr prim de forma <math>3k+1</math> sau <math>3k+2</math>, cu <math>k \in \mathbb{N} \setminus \left\{0\right\}</math>. Atunci <math>p^2 - 1 \in \mathcal{M}_3</math>		Pentru <math>2 < q < p</math>, considerăm că <math>p</math> este un număr prim de forma <math>3k+1</math> sau <math>3k+2</math>, cu <math>k \in \mathbb{N} \setminus \left\{0\right\}</math>. Atunci <math>p^2 - 1 \in \mathcal{M}_3</math>. Din <math>q\, \| \, p^2 - 1 </math> și <math>q</math> număr prim, rezultă <math>q = 3</math>. Acum <math>p\, \| \, q^2 + 1 </math> revine la <math>p\, \| \, 10 </math>, cu <math>p>3 </math>, deci <math>p = 5</math>.

	'''Observație:''' Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' revine la <math>p+q = \left( p-q\right)^3</math>		'''Observație:''' Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' revine la <math>p+q = \left( p-q\right)^3</math>

Andrei.Horvat at 16:34, 18 December 2024

2024-12-18T16:34:18Z

← Older revision		Revision as of 16:34, 18 December 2024
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție'''		'''Soluție'''

	Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' este echivalent ă cu <math>p \left( p^2-1-3pq \right) = q \left( q^2 + 1 - 3pq \right)</math>. Cum numerele <math>p</math> și <math>q</math> sunt prime,		Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' este echivalent ă cu <math>p \left( p^2-1-3pq \right) = q \left( q^2 + 1 - 3pq \right)</math>. Cum numerele <math>p</math> și <math>q</math> sunt prime, se deduce că <math>p\, \| \, q^2 + 1 - 3pq </math>, respectiv <math>q\, \| \, p^2 - 1 - 3pq </math>, deci <math>p\, \| \, q^2 + 1 </math> și <math>q\, \| \, p^2 - 1 </math>.

			Pentru <math>2=q < p</math>, egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' devine <math>6p^2 + 10 = p \left( p^2 + 11 \right)</math>, ceea ce implică

			pe de o parte <math>p \, \| \, 10</math>, deci <math> p = 5</math>, valoare care nu convine, sau

			pe de altă parte <math>p^2 + 11 \, \| \, 6p^2 + 10</math>, ceea ce conduce la <math>p^2 \in \left\{3,17,45\right\}</math>, valori care nu convin.

			Pentru <math>2 < q < p</math>, considerăm că <math>p</math> este un număr prim de forma <math>3k+1</math> sau <math>3k+2</math>, cu <math>k \in \mathbb{N} \setminus \left\{0\right\}</math>. Atunci <math>p^2 - 1 \in \mathcal{M}_3</math>

	'''Observație:''' Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' revine la <math>p+q = \left( p-q\right)^3</math>		'''Observație:''' Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' revine la <math>p+q = \left( p-q\right)^3</math>

Andrei.Horvat at 16:13, 18 December 2024

2024-12-18T16:13:52Z

← Older revision		Revision as of 16:13, 18 December 2024
Line 2:		Line 2:

	''Determinați numerele prime <math>p</math> și <math>q</math>, cu <math>p > q</math>, știind că <math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>.		''Determinați numerele prime <math>p</math> și <math>q</math>, cu <math>p > q</math>, știind că <math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>.

			'''Soluție'''

			Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' este echivalent ă cu <math>p \left( p^2-1-3pq \right) = q \left( q^2 + 1 - 3pq \right)</math>. Cum numerele <math>p</math> și <math>q</math> sunt prime,

			'''Observație:''' Egalitatea ''<math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>'' revine la <math>p+q = \left( p-q\right)^3</math>

Andrei.Horvat: Created page with "'''E:14763 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' ''Determinați numerele prime $p$ și $q$ , cu $p > q$ , știind că $p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3$ ."

2024-12-18T16:07:07Z

Created page with "'''E:14763 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' ''Determinați numerele prime <math>p</math> și <math>q</math>, cu <math>p > q</math>, știind că <math>p\left( 1+3pq\right) + q\left(1-3pq\right) = p^3 - q^3</math>."

New page