28867 - Revision history

Andrei.Horvat at 12:34, 5 August 2025

2025-08-05T12:34:47Z

← Older revision		Revision as of 12:34, 5 August 2025
Line 8:		Line 8:

	'''Soluție'''		'''Soluție'''
	Pentru <math>x=0</math> se obține egalitatea <math>f\left(0\right) \cdot f\left(1\right) = f\left(b\right)</math>, iar pentru <math> x=1</math> se obține <math>f\left(1\right)\cdot f\left(0\right) = f\left(a+b\right)</math>. Cum <math>f</math> este injectivă, rezultă <math>a+b=b</math>, deci <math>a=0</math>. Egalitatea din ipoteza problemei devine <math> f\left(x\right) \cdot f\left(1-x\right) = f\left(b\right)\ne 0, \forall x\in \mathbb{R}.</math>

	Dacă presupunem că <math>f\left(b\right) = 0</math>, atunci din <math>f\left(x\right) \cdot f\left(1-x\right) = 0</math> rezultă că există <math>x_0\in \mathbb{R}\setminus\left\{b\right\}</math> cu <math>f\left(x_0\right) = 0 = f\left(b\right)</math>, contradicție cu proprietatea de injectivitate a func\c tiei <math>f</math>. Așadar <math>f\left(b\right) \ne 0</math>.		Pentru <math>x=0</math> se obține egalitatea <math>f\left(0\right) \cdot f\left(1\right) = f\left(b\right)</math>, iar pentru <math> x=1</math> se obține <math>f\left(1\right)\cdot f\left(0\right) = f\left(a+b\right)</math>. Cum <math>f</math> este injectivă, rezultă <math>a+b=b</math>, deci <math>a=0</math>. Egalitatea din ipoteza problemei devine <math display="block"> f\left(x\right) \cdot f\left(1-x\right) = f\left(b\right)\ne 0, \forall x\in \mathbb{R}.</math>Dacă presupunem că <math>f\left(b\right) = 0</math>, atunci din <math>f\left(x\right) \cdot f\left(1-x\right) = 0</math> rezultă că există <math>x_0\in \mathbb{R}\setminus\left\{b\right\}</math> cu <math>f\left(x_0\right) = 0 = f\left(b\right)</math>, contradicție cu proprietatea de injectivitate a func\c tiei <math>f</math>. Așadar <math>f\left(b\right) \ne 0</math>.

	a) Pentru <math>x=b</math>, din <math>f\left(x\right) \cdot f\left(1-x\right) = f\left(b\right)\ne 0</math> rezultă <math>f\left(b\right)\cdot f\left(1-b\right) = f\left(b\right)</math>. Deoarece <math>f\left(b\right) \ne 0</math>, se obține <math>f\left(1-b\right) = 1</math>.		a) Pentru <math>x=b</math>, din <math>f\left(x\right) \cdot f\left(1-x\right) = f\left(b\right)\ne 0</math> rezultă <math>f\left(b\right)\cdot f\left(1-b\right) = f\left(b\right)</math>. Deoarece <math>f\left(b\right) \ne 0</math>, se obține <math display="block">f\left(1-b\right) = 1.</math>b) Pentru orice <math> n \in \mathbb{N}^\ast</math>, fie <math> f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, cu <math>f_n\left(x\right) = \left( n+1 \right)^x</math>. Evident, <math>f_n</math> este injectivă și dacă <math>a=0</math> și <math>b=1</math>, funcția <math>f_n</math> verifică egalitățile din enunț.

	b) Pentru orice <math> n \in \mathbb{N}^\ast</math>, fie <math> f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, cu <math>f_n\left(x\right) = \left( n+1 \right)^x</math>. Evident, <math>f_n</math> este injectivă și dacă <math>a=0</math> și <math>b=1</math>, funcția <math>f_n</math> verifică egalitățile din enunț.

Andrei.Horvat at 12:32, 5 August 2025

2025-08-05T12:32:33Z

← Older revision		Revision as of 12:32, 5 August 2025
Line 8:		Line 8:

	'''Soluție'''		'''Soluție'''
			Pentru <math>x=0</math> se obține egalitatea <math>f\left(0\right) \cdot f\left(1\right) = f\left(b\right)</math>, iar pentru <math> x=1</math> se obține <math>f\left(1\right)\cdot f\left(0\right) = f\left(a+b\right)</math>. Cum <math>f</math> este injectivă, rezultă <math>a+b=b</math>, deci <math>a=0</math>. Egalitatea din ipoteza problemei devine <math> f\left(x\right) \cdot f\left(1-x\right) = f\left(b\right)\ne 0, \forall x\in \mathbb{R}.</math>

			Dacă presupunem că <math>f\left(b\right) = 0</math>, atunci din <math>f\left(x\right) \cdot f\left(1-x\right) = 0</math> rezultă că există <math>x_0\in \mathbb{R}\setminus\left\{b\right\}</math> cu <math>f\left(x_0\right) = 0 = f\left(b\right)</math>, contradicție cu proprietatea de injectivitate a func\c tiei <math>f</math>. Așadar <math>f\left(b\right) \ne 0</math>.

			a) Pentru <math>x=b</math>, din <math>f\left(x\right) \cdot f\left(1-x\right) = f\left(b\right)\ne 0</math> rezultă <math>f\left(b\right)\cdot f\left(1-b\right) = f\left(b\right)</math>. Deoarece <math>f\left(b\right) \ne 0</math>, se obține <math>f\left(1-b\right) = 1</math>.

			b) Pentru orice <math> n \in \mathbb{N}^\ast</math>, fie <math> f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, cu <math>f_n\left(x\right) = \left( n+1 \right)^x</math>. Evident, <math>f_n</math> este injectivă și dacă <math>a=0</math> și <math>b=1</math>, funcția <math>f_n</math> verifică egalitățile din enunț.

Andrei.Horvat: Created page with "'''28867 (Natalia Fărcaș)''' ''Fie funcția injectivă $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , cu proprietatea că există numerele reale $a$ și $b$ astfel încât $f\left(x\right) \cdot f\left(1-x\right) = f\left(ax+b\right)$ oricare ar fi $x\in \mathbb{R}$ . # Demonstrați că $f\left(1-b\right)=1$ . # Dați un exemplu de șir $\left(f_n\right)_{n\ge 1}$ de funcții injective $f_n:\mathb..."$

2025-08-05T07:46:24Z

Created page with "'''28867 (Natalia Fărcaș)''' ''Fie funcția injectivă <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, cu proprietatea că există numerele reale <math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>f\left(x\right) \cdot f\left(1-x\right) = f\left(ax+b\right)</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{R}</math>. # Demonstrați că <math>f\left(1-b\right)=1</math>. # Dați un exemplu de șir <math> \left(f_n\right)_{n\ge 1}</math> de funcții injective <math>f_n:\mathb..."

New page

'''[[28867]] (Natalia Fărcaș)'''

''Fie funcția injectivă <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, cu proprietatea că există numerele reale <math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>f\left(x\right) \cdot f\left(1-x\right) = f\left(ax+b\right)</math> oricare ar fi <math>x\in \mathbb{R}</math>.

# Demonstrați că <math>f\left(1-b\right)=1</math>.
# Dați un exemplu de șir <math> \left(f_n\right)_{n\ge 1}</math> de funcții injective <math>f_n:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, cu proprietatea că există <math>a,b \in \mathbb{R}</math>, astfel încât pentru orice <math>x\in \mathbb{R}</math>, avem <math display="block">f_n\left(x\right) \cdot f_n\left(1-x\right) = f_n\left(ax+b\right)</math>și <math display="block">\log_{n+1} f_n\left(x\right) = a - \log_{n+1} f_n\left(-x\right).</math>
''

'''Soluție'''