28450 - Revision history

Andrei.Horvat at 11:48, 31 October 2023

2023-10-31T11:48:41Z

← Older revision		Revision as of 11:48, 31 October 2023
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	Fie <math>r \in </math> <math>{\displaystyle \mathbb {R^*} }</math> rația primei progresii. Observăm că <math>a_{2p} + b_p = a_1 + b_1 + p \cdot r = a_{p+1} + b_1 = a_{p+2} + b_2 = ... = a_{n} + b_{n-p}. </math> ~~(1)~~ Presupunem că putem alege <math>n + p + 1 </math>, elemente distincte ale lui <math>A \cup B</math>, astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de <math>a_{2p} + b_p.</math> Din (1) deducem că printre aceste <math>n + p + 1</math> elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile <math> \{ a_{p+1}, b_{1} \}, \{ a_{p+2}, b_{2} \},..., \{ a_{n}, b_{n-p} \}</math>. Cum <math>2n - (n - p) = n + p < n + p + 1</math>, rezultă că printre cele <math>n + p + 1</math> numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.		Fie <math>r \in </math> <math>{\displaystyle \mathbb {R^*} }</math> rația primei progresii. Observăm că <math display="block">a_{2p} + b_p = a_1 + b_1 + p \cdot r = a_{p+1} + b_1 = a_{p+2} + b_2 = ... = a_{n} + b_{n-p}. (1) </math> Presupunem că putem alege <math>n + p + 1 </math>, elemente distincte ale lui <math>A \cup B</math>, astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de <math>a_{2p} + b_p.</math> Din (1) deducem că printre aceste <math>n + p + 1</math> elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile <math> \{ a_{p+1}, b_{1} \}, \{ a_{p+2}, b_{2} \},..., \{ a_{n}, b_{n-p} \}</math>. Cum <math>2n - (n - p) = n + p < n + p + 1</math>, rezultă că printre cele <math>n + p + 1</math> numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.

Adina Timiș at 14:50, 30 October 2023

2023-10-30T14:50:58Z

← Older revision		Revision as of 14:50, 30 October 2023
Line 1:		Line 1:
	'''28450 (Nicolae Mușuroia)'''		'''28450 (Nicolae Mușuroia)'''

	Fie <math>n \in </math> ℕ, <math>n \geq 4</math> și <math>p \in \{1, 2,..., [n/2]\}.</math> Considerăm mulțimile disjuncte <math>A = \{ a_{1}, a_{2},..., a_{n} \}</math> și <math>B = \{ b_{1}, b_{2},..., b_{n} \}</math>, formate din primii <math>n</math> termeni a două progresii aritmetice <math>(a_{k})_{k\geq1}</math> și <math>(b_{k})_{k\geq1}</math> cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice <math>n + p + 1</math> elemente distincte ale mulțimii <math>A \cup B</math> există două a căror sumă este egală cu <math>a_{2p} + b_p.</math>		''Fie <math>n \in </math> ℕ, <math>n \geq 4</math> și <math>p \in \{1, 2,..., [n/2]\}.</math> Considerăm mulțimile disjuncte <math>A = \{ a_{1}, a_{2},..., a_{n} \}</math> și <math>B = \{ b_{1}, b_{2},..., b_{n} \}</math>, formate din primii <math>n</math> termeni a două progresii aritmetice <math>(a_{k})_{k\geq1}</math> și <math>(b_{k})_{k\geq1}</math> cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice <math>n + p + 1</math> elemente distincte ale mulțimii <math>A \cup B</math> există două a căror sumă este egală cu <math>a_{2p} + b_p.</math>''

	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	Fie <math>r \in </math> <math>{\displaystyle \mathbb {R^*} }</math> rația primei progresii. Observăm că <math>a_{2p} + b_p = a_1 + b_1 + p \cdot r = a_{p+1} + b_1 = a_{p+2} + b_2 = ... = a_{n} + b_{n-p}. </math> (1) Presupunem că putem alege <math>n + p + 1 </math>, elemente distincte ale lui <math>A \cup B</math>, astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de <math>a_{2p} + b_p.</math> Din (1) deducem că printre aceste <math>n + p + 1</math> elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile <math> \{ a_{p+1}, b_{1} \}, \{ a_{p+2}, b_{2} \},..., \{ a_{n}, b_{n-p} \}</math>. Cum <math>2n - (n - p) = n + p < n + p + 1</math>, rezultă că printre cele <math>n + p + 1</math> numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.		Fie <math>r \in </math> <math>{\displaystyle \mathbb {R^*} }</math> rația primei progresii. Observăm că <math>a_{2p} + b_p = a_1 + b_1 + p \cdot r = a_{p+1} + b_1 = a_{p+2} + b_2 = ... = a_{n} + b_{n-p}. </math> (1) Presupunem că putem alege <math>n + p + 1 </math>, elemente distincte ale lui <math>A \cup B</math>, astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de <math>a_{2p} + b_p.</math> Din (1) deducem că printre aceste <math>n + p + 1</math> elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile <math> \{ a_{p+1}, b_{1} \}, \{ a_{p+2}, b_{2} \},..., \{ a_{n}, b_{n-p} \}</math>. Cum <math>2n - (n - p) = n + p < n + p + 1</math>, rezultă că printre cele <math>n + p + 1</math> numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.

Adina Timiș at 11:46, 27 October 2023

2023-10-27T11:46:53Z

← Older revision		Revision as of 11:46, 27 October 2023
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	Fie <math>r \in </math> <math>{\displaystyle \mathbb {R^*} }</math> rația primei progresii. Observăm că <math>a_{2p} + b_p = a_1 + b_1 + p \cdot r = a_{p+1} + b_1 = a_{p+2} + b_2 = ... = a_{n} + b_{n-p}. </math> (1)		Fie <math>r \in </math> <math>{\displaystyle \mathbb {R^*} }</math> rația primei progresii. Observăm că <math>a_{2p} + b_p = a_1 + b_1 + p \cdot r = a_{p+1} + b_1 = a_{p+2} + b_2 = ... = a_{n} + b_{n-p}. </math> (1) Presupunem că putem alege <math>n + p + 1 </math>, elemente distincte ale lui <math>A \cup B</math>, astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de <math>a_{2p} + b_p.</math> Din (1) deducem că printre aceste <math>n + p + 1</math> elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile <math> \{ a_{p+1}, b_{1} \}, \{ a_{p+2}, b_{2} \},..., \{ a_{n}, b_{n-p} \}</math>. Cum <math>2n - (n - p) = n + p < n + p + 1</math>, rezultă că printre cele <math>n + p + 1</math> numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.

	Presupunem că putem alege <math>n + p + 1 </math>, elemente distincte ale lui <math>A \cup B</math>, astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de <math>a_{2p} + b_p.</math> Din (1) deducem că printre aceste <math>n + p + 1</math> elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile <math> \{ a_{p+1}, b_{1} \}, \{ a_{p+2}, b_{2} \},..., \{ a_{n}, b_{n-p} \}</math>. Cum <math>2n - (n - p) = n + p < n + p + 1</math>, rezultă că printre cele <math>n + p + 1</math> numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.

Adina Timiș: Pagină nouă: '''28450 (Nicolae Mușuroia)''' Fie $n \in$ ℕ, $n \geq 4$ și $p \in \{1, 2,..., [n/2]\}.$ Considerăm mulțimile disjuncte $A = \{ a_{1}, a_{2},..., a_{n} \}$ și $B = \{ b_{1}, b_{2},..., b_{n} \}$ , formate din primii $n$ termeni a două progresii aritmetice $(a_{k})_{k\geq1}$ și $(b_{k})_{k\geq1}$ cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice $n + p + 1$ elemente...

2023-10-27T11:46:01Z

Pagină nouă: '''28450 (Nicolae Mușuroia)''' Fie <math>n \in </math> ℕ, <math>n \geq 4</math> și <math>p \in \{1, 2,..., [n/2]\}.</math> Considerăm mulțimile disjuncte <math>A = \{ a_{1}, a_{2},..., a_{n} \}</math> și <math>B = \{ b_{1}, b_{2},..., b_{n} \}</math>, formate din primii <math>n</math> termeni a două progresii aritmetice <math>(a_{k})_{k\geq1}</math> și <math>(b_{k})_{k\geq1}</math> cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice <math>n + p + 1</math> elemente...

New page

'''28450 (Nicolae Mușuroia)'''

Fie <math>n \in </math> ℕ, <math>n \geq 4</math> și <math>p \in \{1, 2,..., [n/2]\}.</math> Considerăm mulțimile disjuncte <math>A = \{ a_{1}, a_{2},..., a_{n} \}</math> și <math>B = \{ b_{1}, b_{2},..., b_{n} \}</math>, formate din primii <math>n</math> termeni a două progresii aritmetice <math>(a_{k})_{k\geq1}</math> și <math>(b_{k})_{k\geq1}</math> cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice <math>n + p + 1</math> elemente distincte ale mulțimii <math>A \cup B</math> există două a căror sumă este egală cu <math>a_{2p} + b_p.</math>

'''Soluție:'''

Fie <math>r \in </math> <math>{\displaystyle \mathbb {R^*} }</math> rația primei progresii. Observăm că <math>a_{2p} + b_p = a_1 + b_1 + p \cdot r = a_{p+1} + b_1 = a_{p+2} + b_2 = ... = a_{n} + b_{n-p}. </math> (1)

Presupunem că putem alege <math>n + p + 1 </math>, elemente distincte ale lui <math>A \cup B</math>, astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de <math>a_{2p} + b_p.</math> Din (1) deducem că printre aceste <math>n + p + 1</math> elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile <math> \{ a_{p+1}, b_{1} \}, \{ a_{p+2}, b_{2} \},..., \{ a_{n}, b_{n-p} \}</math>. Cum <math>2n - (n - p) = n + p < n + p + 1</math>, rezultă că printre cele <math>n + p + 1</math> numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.